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Lucas Fabrin Há mais de um mês
Teremos uma permutação.
P=(n-p)
P(6-2)
P4
4!= 24 possibilidades.
Joyce Souza
Há mais de um mês
Permuta de 5
5!=5*4*3*2*1 = 120
Como a pessoa que acompanha a outra pode sentar ao lado inverso dela, multiplicamos por 2 o resultado obtido anteriormente.
120*2=240
Seis pessoas podem sentar de 240 maneiras diferentes, em qualquer ordem, com duas sempre juntas.
De quantas maneiras distintas, 6 pessoas podem sentar-se:
A) em um banco retangular de 6 lugares?
B) ao redor de uma mesa circular, considerando-se uma ordem de posicionamento na mesa?
Solu��o:
A � trata-se de um problema de permuta��es simples. Portanto, as 6 pessoas poder�o sentar-se num banco rectangular de 6 lugares, de 6! formas distintas, ou seja: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Outra forma de resolu��o seria adotar o seguinte racioc�nio:
A primeira pessoa teria 6 op��es de
escolha.
A segunda pessoa, teria 5 op��es de escolha.
A terceira pessoa, teria 4 op��es de escolha.
A quarta pessoa, teria 3 op��es de escolha.
A quinta pessoa, teria 2 op��es de escolha.
Finalmente, a sexta pessoa teria apenas uma op��o de escolha.
Logo, pelo Princ�pio Fundamental de Contagem � PFC , o n�mero total N de possibilidades ser� igual ao produto do n�mero de possibilidades para cada caso, ou seja: N = 6.5.4.3.2.1 = 720
B � no caso de uma mesa circular, considerando-se uma ordem de coloca��o na mesa, digamos, da direita para a esquerda, poderemos raciocinar da seguinte forma:
A primeira pessoa, poder� escolher qualquer lugar.
Para os cinco
lugares restantes, restar�o 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades de escolha.
Raciocinando de forma gen�rica, para m pessoas se acomodarem ao redor de uma mesa circular (considerando-se uma ordem de coloca��o na mesa) teremos:
A primeira pessoa, poder� escolher qualquer lugar da mesa.
Restam (m � 1) pessoas que poder�o se acomodar de (m-1)(m-2)(m-3). ... .1 = (m-1)! maneiras
poss�veis.
Portanto, m pessoas poder�o sentar-se ao redor de uma mesa circular, de (m � 1)! formas distintas, (no caso de considerarmos uma ordem de coloca��o na mesa).
Agora � f�cil!
1 - De quantas formas 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, considerando-se a ordem
de posicionamento?
Resposta: 24 maneiras distintas.
Observe que se as 5 pessoas tivessem que sentar-se num banco de 5 lugares, ter�amos 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.
Portanto, quando voc� participar de uma reuni�o numa mesa circular, seja r�pido! Eh eh eh eh ... tente ser o primeiro a se posicionar, pois, neste caso, o n�mero de possibilidades de
escolha � menor, se comparado ao n�mero de possibilidades de sentar-se num banco retangular. Muitos gostariam de sentar ao lado do chefe! he he he ...
2 - De quantas formas 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, sem considerar a ordem de posicionamento?
Resposta: 12.
Veja o arquivo para
saber mais.
Nota:
T�vola = pe�a circular de osso ou de marfim, empregada em v�rios jogos de tabuleiro, segundo o Novo Dicion�rio Brasileiro Melhoramentos � 7� edi��o. Quem n�o se lembra dos Cavaleiros da T�vola Redonda do lend�rio Rei Artur?
Paulo Marques, 30 de novembro de 2000.
De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?
(Unifor–CE)
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
(UFJF–MG)
Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
(ITA–SP)
Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?
a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360
Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.
Os pais deverão ocupar os extremos:
P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P
2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras
Resposta correta item b.
4 livros de Geometria = P4
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3
P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras
Resposta correta item d.
3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números
1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números
3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números
Resposta correta item a.