Polígonos são regiões limitadas por segmentos de reta. O encontro dos segmentos de reta formam os vértices e os ângulos da figura. O polígono mais simples é o triângulo, que possui três lados, três vértices e três ângulos.
Veja a tabela com os dados de alguns polígonos regulares.
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão:
S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados.
Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.
Exemplo 1
Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular?
O heptágono possui 7 lados.
S = (n – 2) * 180º
S = (7 – 2) * 180º
S = 5 * 180º
S = 900º
A soma dos ângulos internos de um heptágono é 900º.
Exemplo 2
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?
Aplicando a fórmula:
S = (n – 2) * 180º
S = (20 – 2) * 180º
S = 18 *
180º
S = 3240º
A soma dos ângulos internos de um icoságono é 3240º.
Podemos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos para calcular o número de lados de qualquer polígono, desde que a soma dos ângulos internos seja dada.
Exemplo 3
Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2340º?
S = (n – 2) * 180º
2340º = (n – 2) * 180º
2340º = 180n – 360º
2340 + 360 = 180n
2700 =
180n
180n = 2700
n = 2700/180
n = 15
O polígono possui 15 lados.
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular é 360º.
Para calcular a medida do ângulo externo de um polígono é preciso dividir 360º pelo número de lados da figura poligonal.
Exemplo 4
Quanto mede o ângulo externo do hexágono?
O hexágono possui seis lados, então:
ai = 360º / 6
ai = 60º
Cada ângulo externo de um hexágono mede 60º.
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que tem 44 diagonais. 02) Dado um undecágono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos externos. c) o número de diagonais desse polí- gono. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Polígonos convexos. Exercícios complementares da aula 05. Jeca 52 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. 07) Dado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo- no. 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. Jeca 53 (GeoJeca) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 09) Dado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecá- gono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos externos. e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta- decágono. 10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. 11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. A B C D E F G H I J K L O Jeca 54 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar : A B C D EG H I J O b) a medida de cada ângulo externo. d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma- do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. f) a medida do ângulo agudo forma- do pelos prolongamentos dos lados BC e EF. g) a medida do ângulo agudo forma- do entre as diagonais BI e AG. h) a medida do ângulo EOG. a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. F i) a medida do ângulo EBC. Jeca 55 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y. x y 105º 88º 93º 15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por: a) 5n - 4 2 c) n - 5n + 6 2 2 b) n - 11n d) n(n-3) 2 2 e) 2n - 4 16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então: a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º A C D E F GH 18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH. B G H 19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE. A B C D EF I X 17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais. Jeca 56 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º 22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por: a) 2n(n - 2) b) 2n(n - 1) c) 2n(n - 3) d) e) n.d.a. n(n - 5) 2 23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con- vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De- termine o número de lados do polígono. Jeca 57 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu- lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he- xágono. a a a a a B C DE F 23 15 13 20 a A Respostas dos exercícios da Aula 05. 01) 2340º e 90 diagonais 02) 360º e 135 diagonais 03) 140º e 40º 04) 135º e 20 diagonais 05) 1980º 06) 54 diagonais 07) 90 diagonais 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) Eneágono e pentadecágono 11) 60º 12) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 58 Respostas dos exercícios complementares da Aula 05. 01) a) 2700º b) 360º c) 119 02) a) 1620º b) 360º c) 44 03) 14 lados e 77 diagonais 04) 1620º 05) 360º 06) Quadridecágono e dodecágono 07) a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º e) 40º f) 27 08) Eneágono 09) a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º e) 24º f) 90 10) Pentadecágono e dodecágono 11) 18º 12) 120º 13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º i) 36º 14) 74º 15) c 16) b 17) heptágono 18) 24º e 48º 19) 60º 20) 99 cm 21) d 22) a 23) 12 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 59 I) Elementos da circunferência. A B C D r r r a P C - centro da circunferência AC = r - raio da circunferência AB = 2r - diâmetro da circunferência ACD = a - ângulo central