Um conjunto é uma reunião de elementos que compartilham as mesmas características. Quando esses elementos são números, esse agrupamento passa a ser conhecido como conjunto numérico.
Existem infinitos conjuntos numéricos, entretanto, alguns deles são notáveis por causa da frequência com que aparecem nas soluções e nas demonstrações matemáticas e, principalmente, pela história de como os números foram criados. São eles: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
A seguir, daremos uma breve explicação a respeito de cada um desses conjuntos, para que seja fácil reconhecer seus elementos.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros e positivos. Além deles, o zero também faz parte desse conjunto. Utilizando a representação por chaves, os elementos do conjunto dos números naturais são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Observe que esse conjunto possui um primeiro elemento, o zero, mas não possui um último elemento. Portanto, esse conjunto é infinito, embora seja limitado inferiormente. Note também que a sequência dos números naturais é usada para contar, pois o sucessor de um número natural sempre é uma unidade maior do que ele.
Conjunto dos números inteiros
Esse conjunto é formado por todos os números inteiros, sejam eles positivos, negativos ou o número nulo (o zero). Assim, usando a representação por chaves, o conjunto dos números inteiros possui os seguintes elementos:
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Observe que esse conjunto é formado pelo conjunto dos números naturais, pelos inversos aditivos de todos os números naturais e pelo zero. Esse conjunto também é infinito, mas não é limitado.
Conjunto dos números racionais
Esse conjunto é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração a/b, em que a e b são números inteiros e b é sempre diferente de zero. Os elementos desse conjunto são:
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Números inteiros
Decimais finitos
Dízimas periódicas
Números inteiros podem ser compreendidos como a divisão do próprio número inteiro por 1. Quando o resultado da divisão entre dois números inteiros não é um decimal finito, é uma dízima periódica.
Conjunto dos números irracionais
Esse conjunto é formado por todos os números que não são racionais, ou seja, por todos os números que não podem ser escritos como razão entre dois números inteiros.
Os elementos que pertencem a esse conjunto são os decimais infinitos e não periódicos. Alguns deles podem ser representados de outra maneira, como por exemplo π, √2, √3 etc.
Conjunto dos números reais
Esse conjunto é formado pela união entre os conjuntos dos números irracionais e dos números racionais. Assim, qualquer número racional ou irracional é um elemento do conjunto dos números reais.
Entre esse conjunto e a reta existe uma relação biunívoca, ou seja, existe uma “função” que relaciona cada número real a um único ponto de uma reta, e essa “função” é bijetora. Em outras palavras, não existe um ponto da reta que não seja representado por um único número real e não existe número real que não represente um único ponto da reta.
Conjunto dos números complexos
É o conjunto formado por todos os números z, tais que:
z = a + bi
Em que a e b são números reais e i = √(– 1).
Esse conjunto foi criado para tentar descobrir soluções de equações de grau 2 ou superior que não possuem solução dentro do conjunto dos números reais.
Observe que esse conjunto contém o conjunto dos números reais. Se b = 0, teremos z = a. Fazendo isso com todos os “a” possíveis, obteremos todo o conjunto dos números reais.
Fala galera, tudo bem? Os conjuntos numéricos são um dos principais conteúdos da Matemática, pois são especialmente importantes para o desenvolvimento da teoria matemática, além de terem muitas aplicações práticas.
Os conjuntos numéricos que costumamos estudar são: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais, números reais e números complexos.
Nessa aula, veremos o conceito destes conjuntos e alguns exemplos. Acompanhe e boa leitura!
O que são conjuntos numéricos?
Definimos por conjunto o grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua natureza. Esses elementos formam um conjunto. Quando estudamos Matemática, se os elementos parecidos ou com as mesmas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Os conjuntos numéricos
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões no estudo da Matemática. Vejamos a seguir.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros negativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o denominador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser zero, pois não existe divisão por zero.
O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, ⅛, 2, 10/4}
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais seem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais.
Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes não exatas.
Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
Conjunto dos Números Complexos (C)
O conjunto dos números complexos surgiu da necessidade de encontrar raízes não reais de equações de grau maior ou igual a 2. Isso porque há equações do segundo grau que possuem Δ < 0, ou seja, não possuem raízes reais. Para encontrar essas raízes, o conjunto dos números complexos foi criado.
Os elementos desse conjunto, representado pela letra C, são definidos assim:
x é um número complexo se x = a + bi, em que a e b são números reais e i = √-1.
Tem dúvidas e quer aprender uma pouco mais? Assista a minha videoaula:
É isso aí, estudante! Espero que você tenha entendido um pouco melhor sobre conjuntos numéricos. E se quiser ajuda para melhorar seu nível de Matemática para o Enem, para o vestibular, para o concurso ou para a faculdade, acesse o site do Matemática Rio e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
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