Os cálculos envolvendo probabilidade são úteis na determinação das chances de ocorrer um determinado evento pertencente a um espaço amostral finito. As chances são determinadas de acordo com a razão:
Os resultados decorridos da razão podem aparecer na forma de fração irredutível ou no formato de porcentagem.
Exemplo 1
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número menor que 5?
O espaço amostral no lançamento de um dado inclui os seguintes eventos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Desses eventos, temos que os favoráveis são: 1, 2, 3 e 4. Então teremos:
Exemplo 2
Um baralho é formado por 52 cartas distribuídas da seguinte forma:
Pretas | Vermelhas | ||
Paus | Espadas | Copas | Ouro |
13 | 13 | 13 | 13 |
a) Qual a probabilidade de, ao acaso, se retirar do baralho uma carta vermelha?
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b) Qual a probabilidade de, ao acaso, se retirar do baralho uma carta de copas?
c) Determine a probabilidade na retirada de um quatro de qualquer naipe.
Exemplo 3
Em uma urna foram colocadas bolas enumeradas de 1 a 120. Qual a probabilidade de, ao acaso, uma pessoa retirar uma bola com numeração menor que 31?
Exemplo 4
No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de obtermos na soma das faces o número 5?
No lançamento de dois dados, temos que o espaço amostral possui 36 eventos. Os pares de faces em que a soma seja igual a 5 são:
1 e 4
2 e 3
4 e 1
3 e 2
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:
Lembrando que temos 4 damas em um baralho, que tem 52 cartas totais. Então a probabilidade de retirarmos uma dama no primeiro sorteio é:
P d a m a 1 º s o r t e i o = 4 d a m a s 52 c a r t a s = 4 52
E no segundo sorteio? Como não vamos ter reposição de cartas, agora temos 3 damas entre 51 cartas totais (retiramos uma já, lembra?):
P d a m a 2 º s o r t e i o = 3 51
Pro terceiro, seguindo o mesmo raciocínio...
P d a m a 3 º s o r t e i o = 2 50
E pro último sorteio, só restou uma dama no baralho e 49 cartas totais, então:
P d a m a 4 º s o r t e i o = 1 49
Para saber a probabilidade de saírem 4 damas nos 4 sorteios basta multiplicarmos todas essas aí, como nos diz o princípio da contagem:
P r e t i r a r m o s 4 d a m a s = 4 52 × 3 51 × 2 50 × 1 49 = 0,00000369 ≅ 0,0004 %
Muiiiito pequena a chance disso acontecer!
Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Fácil)
Uma carta foi retirada de um baralho completo.
Qual a probabilidade de essa carta ser um Rei ou uma carta de Ouros?
Solução
Uma carta foi retirada de um baralho completo ([tex]52[/tex] cartas) e queremos calcular a probabilidade de essa carta ser "um Rei" ou "uma carta de Ouros".
Observe que o espaço amostral do problema é
- [tex]\Omega[/tex]: "todas as cartas do baralho"
e estão envolvidos dois eventos:
- evento [tex]\textcolor{#52D017}{E_1}[/tex]: a carta retirada ser um "Rei";
- evento [tex]\textcolor{red}{E_2}[/tex]: a carta retirada ser do naipe "Ouros".
Se [tex]P(X)[/tex] indicar a probabilidade de um evento [tex]X[/tex], o que precisaremos calcular é [tex]P(E_1 \cup E_2)[/tex] e para isso utilizaremos a fórmula:
[tex]\qquad \qquad \boxed{P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{P(E_1)}+\textcolor{red}{P(E_2)}-P(E_1 \cap E_2)}[/tex],
ou seja, "a probabilidade de a carta retirada ser de Ouros ou um Rei" é "a probabilidade de a carta ser de Ouros", mais "a probabilidade de a carta ser um Rei", menos "a probabilidade de a carta ser um Rei de Ouros".
Vamos, então, calcular separadamente [tex]\textcolor{#52D017}{P(E_1)}[/tex], [tex]\textcolor{red}{P(E_2)}[/tex] e [tex]P(E_1 \cap E_2):[/tex]
-
Para tirarmos um Rei, dispomos de [tex]4[/tex] de um total de [tex]52[/tex] cartas.
Assim, [tex]\boxed{\textcolor{#52D017}{P(E_1)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}}} \, .[/tex] - Para tirarmos uma carta de Ouros, dispomos de [tex]13[/tex] de um total de [tex]52[/tex] cartas.
Assim, [tex]\boxed{\textcolor{red}{P(E_2)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}}} \, .[/tex] - Para tirarmos um Rei de Ouros, dispomos de [tex]1[/tex] carta de um total de [tex]52[/tex] cartas.
Assim, [tex]\boxed{P(E_1\cap E_2)=\dfrac{1}{52}} \, .[/tex]
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{P(E_1)}+\textcolor{red}{P(E_2)}-P(E_1 \cap E_2)[/tex]
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{\dfrac{1}{13}}+\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{52}\\
\, \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}.[/tex]
Portanto, a probabilidade de que a carta retirada seja um Rei ou uma carta de
Ouros é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{4}{13}$} \, [/tex], ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$31\%$} \, .[/tex]
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