Espaço amostral e evento estão ligados a probabilidade de algum fenômeno acontecer.
Espaço amostral e evento são termos ligados à probabilidade, ciência que estuda as chances de um fenômeno acontecer. A realização de um experimento repetidas vezes respeitando as mesmas condições, não deve apresentar os mesmos resultados. É nesse aspecto que a probabilidade conceitua suas regras, demonstrando os resultados através de números, em forma de porcentagem. Para o cálculo da probabilidade de algo acontecer, precisamos entender os termos: espaço amostral e evento.
Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas, o espaço amostral envolve 52 cartas.
Evento é a representação de um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, em relação aos espaços amostrais citados anteriormente, o número de eventos são:
Moeda: dois eventos
Dado: seis eventos
Baralho de cartas: cinquenta e dois eventos
Para determinarmos a probabilidade de algo acontecer, basta realizarmos a divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis. Observe:
Vamos determinar a probabilidade de, no lançamento de um dado ocorrer o número 6.
Na face do dado temos exatamente um lado com o número 6. Ao lançarmos o dado, a chance de obtermos o número indicado é de 1 em 6. Portanto:
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No lançamento de uma moeda, a chance de retirarmos cara ou coroa é de 50% em cada.
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma, temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento
Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade.
Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.
Definições
Espaço amostral (S)
É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .
Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão formando também o nosso espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}.
Evento
(E): é um conjunto de resultados do experimento que em termos de conjuntos, é um subconjunto S em particular. ou seja , é o nº de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral.
Por exemplo : determine a probabilidade de sair duas caras no lançamento simultâneo de duas moedas.
Resolvendo !
1.vale apenas saber que lançamento simultâneo : significa que as moedas foram lançadas ao mesmo tempo;
2.temos duas moedas , com face cara (c) e face coroa (k) então : S = {(c,k) e (c,k)} o que significa esse e ? em probabilidade, o e significa multiplicação, portanto : S={(c,c)(c,k)(k,c)(k,k)} são 2 elementos da primeira moeda e 2 elementos da segunda moeda que vão fazer as quatro combinações possíveis então : o espaço amostral será S=2x2=4;
3.lembra que o evento é o numero de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral ? então, como desejamos obter duas caras, o nosso evento(E) será : n(E)= 1,porque no nosso espaço amostral só temos uma possibilidade de (c,c),no qual coloquei em negrito itálico.
Solução
Espaço amostral n(S)=4;
Evento n(E)= 1;
P(E)=n(E)/n(S)=1/4=0,25=25%
Exemplo 0
Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Resolvendo !
1.Como em um baralho de 52 cartas sempre terá 4 reis, o número de elementos do evento é 4;
Solução
P(E)=n(E)/n(S) = 4/52 = 1/13.
Exemplo 1
Em um experimento, um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número múltiplo de 2 ?
Resolvendo !
1. um dado contém números de 1 a 6,nesse caso o seu espaço
amostral,sempre que for um dado será : S={ 1,2,3,4,5,6};
2.os números múltiplos de 2,são aqueles números pertencentes da sua tabuada, ou seja : 2x1=2...2x2=4...2x3=6 e assim sucessivamente.
O espaço amostral será: S={1,2,3,4,5,6};
Como estamos interessados apenas nos resultados múltiplos de 2 , o nosso evento E(número de casos
favoráveis) é representado por:E={2,4,6},temos três eventos nesse experimento então : n(E)= 3...
Solução
A probabilidade será :P(E)=n(E)/n(S).....{subconjunto/conjunto)
P(E) = 3/6 =0,5 ou 50%(0,5 x 100 = 50%).
Exemplo 2
Dois dados honestos são lançados simultaneamente ,
determine a probabilidade de obter um 5 .
Resolvendo !
1. temos dois dados :dado1 ={1,2,3,4,5,6} e dado2 ={1,2,3,4,5,6}, lembra que eu disse que em probabilidade e significa multiplicação ? então , como o dado1 e dado2 tem 6 elementos cada, o número total de elementos do espaço amostral será : S=6x6=36 que é o total de possibilidades para se obter qualquer número nesse intervalo e inclusive o número 5 ;
2.um dado sempre terá 6 elementos {1,2,3,4,5,6}, uma moeda sempre terá 2 elementos {cara ,coroa} e um baralho sempre terá 52 cartas onde teremos, 13 Copas,13 Paus ,13 Espadas e 13 ouros diferentes .
Solução
Espaço amostral , n(S) = 36;
Número de eventos, n(E) = 2;
P(E)= n(E) / n (S) = 2 /36 = 1/18
Exemplo 3
Um dado e uma moeda são lançados. Determine a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado.
Resolvendo !
1.O problema tá afirmando que é um dado e uma moeda, o que esse e quer? ele simplesmente quer multiplicar a probabilidade da moeda em sair uma cara e a probabilidade
do dado em sair face 6 .
2.Primeiro vamos dar solução na probabilidade da moeda em sair cara e adiante o do dado em sair a face 6.
solução
Espaço amostral S = { cara, coroa } ou seja, 2 elementos;
número de eventos n(E) = 1 cara;
Probabilidade (E) = n(E) / n(S) = 1/2
Dado
Espaço amostral S ={
1,2,3,4,5,6 } ou seja, 6 elementos;
número de eventos n(E) = 1 cara;
Probabilidade(E) = n(E) / n(S) = 1/6
Portanto :a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado é :
Probabilidade =1/2 x 1/6=1/12=0,0833=8,33 %
Exemplo 4
Três moedas são lançadas simultaneamente.Qual é a probabilidade de se obter duas cara.
Resolvendo
!
1.O espaço amostral de três moedas é:{cara,coroa},{cara,coroa} e { cara,coroa}ou seja, é como se tivéssemos os 2 elementos ( cara e coroa ) elevado a 3 , então o espaço amostral será : n (S) = 2x2x2=8,e se fosse quatro
lançamentos seria :n(S)= 2x2x2x2 = 16.
2.como queremos obter a probabilidade de duas caras então, o nosso numero de eventos ou casos favoráveis será igual a 3.
Solução
A probabilidade será : P (E) = n (E) / n ( S ) = 3/ 8
Seção nº 2
Exemplo 5
Se dois dados são lançados , qual é a probabilidade de que a soma das
faces de cima seja igual a 7.
Resolvendo !
1.em probabilidade, face de cima significa a parte ou face do dado que a gente está vendo naquele momento;
2.como são 2 dados ,o espaço amostral será :n(S)={1,2,3,4,5,6} e {1,2,3,4,5,6} ou seja , como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de
casos possíveis será=6x6=36;
3. a soma entre os elementos dos 2 dados que vai ser igual 7 será {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} portanto, o número de casos favoráveis que desejamos será :n(E)=6.
Solução
A probabilidade será : P(E)=n(E)/n(S)=6/36 = 1/6.
Exemplo 6
Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual é a probabilidade de
sair um rei ou uma carta de espadas ?
Resolvendo !
1.em um baralho temos 4 cartas de reis que são : rei espada,ouro,copa e rei de paus; portanto a probabilidade de sair um rei vai ser 4/52
2.temos também 13 cartas de ouros,13 cartas de espadas,13 cartas de copas e 13 cartas de paus,portanto a
probabilidade de sair uma carta de espadas será : 13 / 52;
3. podemos observar que sempre será os amigos de uma carta (subconjunto), dividindo todas as cartas (conjunto ).
4. em probabilidade esse ou significa uma soma , ou seja, para a probabilidade de evento (E) acontecer, a gente tem que somar : a probabilidade de sair um rei + a probabilidade de sair uma carta de espadas.
Solução final
A probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas será : P (E)= 4/52 + 13/52 =16/52.
Exemplo 7
Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número Par.
Resolvendo !
1. O espaço amostral será :
n(S)=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15) ou seja, 15 elementos ;
2. Os números pares desse espaço amostral são n(E) = {2,4,6,8,10,12,14} ou seja 7 elementos;
Solução final
Como no espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares, a probabilidade de se retirar uma bola com número par será :
P(E) = 7/15 = 0,466 = 46,6%
Exemplo 8
Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
Resolvendo !
1.Temos o lançamento de dois dados e nesse caso teremos o seguinte espaço amostral: S ={(1,2,3,4,5,6) e
(1,2,3,4,5,6)},ou seja,como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de casos possíveis será = 6x6 = 36;
2.O problema afirma que estamos observando os números impares que neste caso serão {(1,3,5) e (1,3,5)}, podemos notar que a soma entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é dado pelos pares (3,5) e(5,3).
Resumindo:Somente 2 eventos dos 36 pertencentes ao espaço amostral satisfazem a situação
proposta. Portanto:
P(E)=n(E)/n(S)=2/36=0,0555=5,55%.
Exemplo 9
Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?
1.Temos uma urna com um total de 12 bolas. Isso significa que o nosso espaço amostral S=12.
2.Já que retiramos uma bola e queremos saber a probabilidade dela ser verde , a nossa
probabilidade será :
P(E)=n(E)/n(S)=5/12
Se, o nosso objetivo fosse calcular a probabilidade dessa bola ser amarela o P(E) seria = 7/12.
Exemplo 10
Dada uma urna contendo 2 bolas brancas, 4 vermelhas e 6 amarelas e retirando apenas uma bola desta urna, encontre a probabilidade de:
a) Escolhermos uma bola qualquer da urna?
b) Escolhermos uma bola branca?
c) Escolhermos uma bola vermelha?
d) Escolhermos uma bola amarela da urna?
Resolvendo !
a) Resposta : Se a gente tem uma urna com um total de 12 bolas e queremos tirar nela, uma bola qualquer ,isso significa que a gente tem um conjunto de todos os resultados possíveis do experimento igual a 12 ,ou seja, n(E)=12, porque não está restrito a nenhuma cor.
A probabilidade de escolher uma bola qualquer será :
P(E)=n(E)/n(S)=12/12 = 1
b) Resposta : Já que ,a gente só tem 2 bolas brancas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto,
portanto:
P(E)= n(E)/n(S)=2/12 = 1/6
c) Resposta : Sabendo que ,a gente só tem 4 bolas vermelhas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto, portanto:
P(E)=n(E)/n(S)=4/12 = 1/3
d) Resposta : Do mesmo jeito , a probabilidade para escolher uma bola amarela será :
P(E)=n(E)/n(S)=6/12 = 1/2
Exemplo 11
No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de pelo menos uma cara; C: ocorrência de coroa em ambas.
Resolvendo !
Espaço amostral S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}= 4 eventos;
Evento A = {(cara, coroa); (coroa, cara)} = 2 eventos;
Evento B = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)} = 3 eventos ;
Evento C = {(coroa, coroa)} = 1 evento;
Você está preparado(a) para uma prova ? faça esse simulado com a gente !
Algumas definições importantes
:
- Diz-se que dois eventos são independentes ,quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Exemplo : No lançamento de dois dados , o resultado obtido em um deles não depende do resultado obtido no outro .
- Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos , ou seja, P =
P1.P2 .
Questão 1
As bolas usadas no bingo são enumeradas 1,2,3,...,75, se uma dessas bolas é extraída ao acaso, qual é a probabilidade desse número ser um número par .
SOLUÇÃO PASSO A PASSO
Questão
2
Em uma sala de diversão , foi encontrada três urnas com as seguintes bolas :
Urna A : 3 bolas brancas , 4 pretas e 2 verdes .
Urna B : 5 bolas brancas , 2 pretas e 1 verdes .
Urna C : 2 bolas brancas , 3 pretas e 4 verdes .
Sabendo que uma bola é retirada de cada urna . Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira , segunda e terceira urnas serem , respectivamente , branca , preta e verde ?
SOLUÇÃO PASSO A PASSO
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