Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n.
A*B = B*A = In
Dizemos que B é a inversa de A e é representada por A-1.
Lembre-se que matriz identidade de ordem n (In) é uma matriz onde os elementos de sua diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são
iguais a 0. Por exemplo:
Exemplo 1
Dadas as matrizes A e B, verifique se uma é inversa da outra.
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Multiplicar as matrizes e verificar se o resultado consiste em uma matriz identidade.
Podemos verificar que A-1 é inversa de A, pois a multiplicação entre elas obteve como resultado uma matriz identidade.
Exemplo 2
Vamos determinar se existe a matriz inversa de A.
Para determinar a inversa de uma matriz, basta multiplicar a matriz dada por uma matriz genérica de termos a11, b12, c21, d22, dada a igualdade a uma matriz identidade. Observe:
Resolvendo os sistemas:
Assim, temos que a matriz inversa é:
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Existência de uma matriz inversa"; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/existencia-uma-matriz-inversa.htm. Acesso em 06 de janeiro de 2023.
De estudante para estudante
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4.3 Matriz inversa
Agora que temos definido um produto de matrizes, é natural de nos perguntarmos quais das propriedades usuais do produto entre números reais se mantém válidas.
Por exemplo, a matriz identidade In é a matriz quadrada de ordem n×n que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. No caso 3×3, temos
| I3=100010001. | (4.16) |
Esta matriz satisfaz AIn=A para qualquer matriz A de ordem m×n. Da mesma forma, temos InB=B para qualquer matriz B de ordem n×m (observe atentamente os índices!). O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: 1⋅x=x=x⋅1.
Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui:
| x∈ℝ,x≠0⇒x−1=1xé um inverso multiplicativo, | (4.17) |
isto é, satisfaz x⋅x−1=1.
Vamos procurar por matrizes inversas: dada uma matriz A, queremos encontrar uma matriz A −1 de modo que
| AA−1=In=A−1A. | (4.18) |
Escrevemos de duas formas diferentes acima, pois o produto de matrizes não é comutativo. A matriz A−1 é chamada a matriz inversa de A. Observe que A deve ser quadrada (por quê?).
4.3.1 Caso 2×2
Vamos procurar pela inversa de
Escrevemos
e queremos descobrir os valores x1,x2, y1,y2 que satisfazem
| abcdx1y1x2y2=1001 | (4.21) |
Pela interpretação que demos anteriormente ao produto de matrizes, encontrar
| x→=x1x2 ey→=y1y 2 | (4.22) |
é equivalente a resolver ao mesmo tempo os dois sistemas
| Ax→=10= e→1eAy→=01=e→2. | (4.23) |
A ideia é então resolver por escalonamento os sistemas cuja matriz aumentada associada é:
Tem-se
| ab10cd 01→c⋅ℓ1 e a⋅ℓ2acbcc0acad0a →−ℓ1+ℓ2 em ℓ2ac bcc00ad−bc−ca | (4.25) |
| →ℓ2÷(ad−bc)a cbcc001−cad−bcaad−bc →−bcℓ2+ℓ1 em ℓ1ac0acdad−bc−abcad−bc01−cad−bcaad−bc | (4.26) |
| →ℓ1÷ac10 dad−bc−bad−bc01−cad−bcaad−bc. | (4.27) |
Daí concluimos (depois colocar em evidência o fator ad−bc que está dividindo) que:
| A−1=1ad−bcd−b −ca=1detAd−b−ca. | (4.28) |
Nesta última expressão, definimos o determinante de uma matriz de ordem 2×2:
e, como foi necessário dividir por este valor, concluimos que:
| só existe a matriz inversa de A caso detA≠0. | (4.30) |
Observação 26.Veremos na seção seguinte que o processo que utilizamos para inverter a matriz A funciona para matrizes de qualquer ordem, mas é trabalhoso. No caso de uma matriz 2×2, talvez seja interessante memorizar a fórmula, já que não é tão complicada. Podemos pensar da seguinte maneira:
- Calculamos detA. Se for diferente de zero, existe a inversa. Nós partimos de A e dividimos pelo determinante.
- Em seguida, trocamos de lugar os elementos da diagonal principal (a e d).
- Finalmente, trocamos o sinal dos elementos da outra diagonal.
Atenção! Este método apenas funciona para matrizes quadradas de ordem 2×2!
Exemplo 27. Sejam as matrizes
| A=11−13 ,B=1011,C= −1−122. | (4.31) |
Calculamos
| detA=1⋅3−(−1)⋅1=4≠0. | (4.32) |
Logo, A possui inversa e temos
| A−1=143−11 1=3∕4−1∕41∕41 ∕4. | (4.33) |
(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal e de sinal os elementos da outra diagonal).
Façamos o mesmo para a matriz B:
| detB=1⋅1−1⋅0=1≠0. | (4.34) |
Logo,
| B−1=111−11 1=3∕4−1∕41∕41 ∕4. | (4.35) |
(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal – neste caso eram iguais – e de sinal dos elementos da outra diagonal).
Já para a matriz C, temos
| detC=(−1)⋅2−2⋅(−1)=0 | (4.36) |
e portanto C não é invertível (isto é, não existe a matriz inversa C−1).
4.3.2 Algoritmo para ordem maior
Considere uma matriz de ordem n×n:
| A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋮⋮⋮an1an2⋯ann. | (4.37) |
Para obter a matriz inversa, devemos ter:
| a11a12⋯ a1na21a22⋯a2n ⋮⋮⋮an1an2⋯ annx11x12⋯ x1nx21x22⋯x2 n⋮⋮⋮xn1xn2⋯xnn=10⋯0 01⋯0⋮⋮⋮00⋯1. | (4.38) |
Da mesma forma que na seção anterior, isto é equivalente a resolver simultaneamente os sistemas:
| Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,…,Ax→n=e→n, | (4.39) |
onde x→1,x→2,…,x→n são as colunas da matriz inversa A−1. Assim, devemos escrever a matriz aumentada associada a estes sistemas lineares:
| a11a12⋯ a1n10⋯0a21a 22⋯a2n01⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn00⋯1 | (4.40) |
ou, de forma mais sucinta,
E este é o algoritmo de resolução: Deixar a matriz A em forma escalonada reduzida (até chegar na matriz identidade) de modo que as soluções obtidas já serão a matriz inversa de A:
Observação 28.Para que seja possível encontrar as soluções, como indicado acima, a forma escalonada da matriz A deve possuir n posições de pivô (caso contrário, algum dos sistemas acima seria impossível), de modo que todas as colunas de A são colunas pivô.
Se A possuir alguma coluna sem posição de pivô, podemos parar imediatamente o algoritmo, pois isto significa que a matriz não é invertível.
Exemplo 29.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:
| A=2110433187956798. | (4.43) |
De acordo com o algoritmo, devemos escalonar
| 211010 00433101008795001067980 001. | (4.44) |
Caso a matriz seja invertível, conseguiremos deixar a matriz identidade do lado esquerdo desta matriz aumentada. Começamos eliminando os termos da primeira coluna (abaixo do 2 que está na posição de pivô):
| 211010 000111−21000 355−40100468−3001→segunda coluna21101000011 1−210000222−31000245−401 | (4.45) |
| →terceira211010000111−210000222−31000023−1−11→reduzida – 4 a2110100 00110−7∕23∕21∕2−1∕2 0010−1∕2−11−1∕200 023−1−11 | (4.46) |
| →21003∕21−11∕20100−35∕2−1∕ 200010−1∕2−11−1∕200013∕2−1∕2−1∕21∕2 →10009∕4−3∕4 −1∕41∕40100−35∕2−1∕2 00010−1∕2−11−1∕200013∕2−1∕2−1∕21∕2. | (4.47) |
Concluimos que
| A−1=9∕4−3∕4−1∕ 41∕4−35∕2−1∕20−1∕2−11−1∕23∕2−1∕2−1∕21∕2. | (4.48) |
Verifique como exercício que esta matriz é de fato a matriz inversa de A, isto é, calcule o produto A⋅A−1 e verifique que resulta em I4 .
Notamos que, caso nosso único interesse fosse decidir se A é invertível, sem necessariamente calcular sua inversa, poderíamos ter feito o escalonamento de A (nem precisa ser da matriz aumentada I|A−1) e parado o processo quando chegamos em
| A∼2110011100220002, | (4.49) |
pois já está claro que todas as colunas possuem posição de pivô.
Exemplo 30.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:
| A=11113−3−3−99. | (4.50) |
De acordo com o algoritmo, devemos escalonar
| 111100 13−3010−3−990 01. | (4.51) |
Temos
| 111100 02−4−1100−612301→1111 0002−4−110000031. | (4.52) |
Portanto, a terceira coluna não possui posição de pivô e a matriz A não possui inversa.
4.3.3 Aplicação na resolução de sistemas lineares
Sistemas lineares de ordem n×n
cuja matriz associada A é invertível, são sistemas que possuem exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn (ver Subseção 4.3.4).
A existência da matriz inversa A−1 permite-nos multiplicar ambos os lados do sistema por A−1 para obter x→=A−1⋅A=A−1b→. Logo,
Exemplo 31.Resolver o sistema
| A=11−13 x1x2=12. | (4.55) |
Já calculamos a matriz inversa no Exemplo 27:
| A−1=3∕4−1∕41∕4 1∕4. | (4.56) |
Segue que a solução é
| x→=A−1b→=3∕4 −1∕41∕41∕412 =1∕43∕4. | (4.57) |
Embora nossa solução do sistema possa parecer “elegante” ao utilizar a matriz inversa, este método é muito ineficiente. Na verdade, escalonar a matriz aumentada associada ao sistema exige um custo computacional muito menor do que calcular a inversa da matriz e, portanto, em geral se usa o escalonamento.
Matrizes inversas têm uma importância mais teórica no nosso curso, como veremos na subseção abaixo.
4.3.4 Uma primeira caracterização de matrizes invertíveis
Vamos, nesta subseção, verificar (provar de forma rigorosa) que
“a matriz A é invertível se, e somente se, o sistema linear Ax→=b→ possui exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn.”
(⇒) Se A é invertível, então conseguimos resolver todos os sistemas
| Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,⋯,Ax→n=e→n | (4.58) |
concomitantemente. De fato, qualquer vetor b→ pode ser escrito como
| b→=b1b2 ⋮bn=b1e→1+b2e→2+⋯+bne→n, | (4.59) |
e daí verificamos que se pode construir uma solução x→ pela fórmula
| x→=b1x→1+b2x→ 2+⋯+bnx→n, | (4.60) |
já que pela linearidade do produto da matriz A por vetores, temos Ax→=b1Ax →1+b2Ax→2+⋯+bnAx→n, =b1e→1+b2e→2+ ⋯+bne→n=b→.
(⇐=) Reciprocamente, suponhamos que o sistema possua exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝ n. Em particular, podemos resolver os sitemas
| Ax→1=e→1,Ax→2 =e→2,⋯,Ax→n=e→n | (4.61) |
e escrever a matriz inversa de acordo com o nosso algoritmo:
| A−1=|||x →1x →2⋯ x →n|||. | (4.62) |
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