O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.
Exemplo 1
Vamos determinar os anagramas da palavra:
a) ESCOLA
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos
o valor de 6! (seis fatorial).
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
b) ESCOLA que inicia com E e termina com A.
E ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 4 letras não fixas.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Exemplo 2
a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA.
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!.
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880
b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A.
R ___ ___ ___ ___
___ ___ ___ A
Vamos permutar as 7 letras não fixadas.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
Exemplo 3
Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ .
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
Exemplo 4
A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra.
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Temos que das 10 letras, 3 se repetem. Essas repetições estão nas letras: M, A e T. Nesse caso, devemos retirar a repetição de letras para que a contagem de anagramas não fique comprometida. Para que isso seja feito, devemos dividir a quantidade equivalente ao fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das
repetições. Veja:
Quantidade de repetições das letras: M --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
A --> Repeti 3 vezes, logo devemos calcular o 3!
T --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
Cálculo da quantidade de anagramas da palavra MATEMÁTICA
10!=
10 * 9 . 8 * 7 . 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1=
3.628.800= 151200
2! . 3! . 2! (2 * 1) * ( 3 * 2 * 1) * (2 * 1 ) 24
A palavra MATEMÁTICA possui 151200 anagramas.
Exemplo 5
Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado.
A quantidade de palavras será dada por 3!
3 * 2 * 1 = 6 palavras
As palavras são:
OLA
OAL
ALO
AOL
LOA
LAO
Exemplos de Permutação
01) Com as vogais: A, E, I , O e U quantas permutações podem ser formadas contendo as letras A, E e I?
Com A, E, I: 3! = 6
A, E, I com O: 4! =24
A, E, I com U: 4! = 24
A, E, I com O e U: 5! = 120
Total 6 + 24 + 24 +1 20 = 174.
02) De quantas maneiras 7 garotas podem sentar-se num banco que tem apenas 7 lugares?
P7 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 maneiras
03) Consideremos um conjuntos com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?
04) De quantas formas 5 podem ficar em fila indiana?
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 formas
05) Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL?
Total de letras distintas: 9
Portanto: P9 = 9! = 9 x 8 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 permutações
06)Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por A?
Fixando o A, restam 8 posições para as outras letras:
P8 = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 40.320 permutações
07)Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por UNI?
Considerando UNI como uma só letra, restam seis: VERSAL
P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 permutações
08) Quantos são os anagramas da palavra ALGÉBRICO, que começam por vogal?
A palavra tem 4 vogais: A- E - I- O . Colocando uma vogal no início, sobram 8 posições para as restantes da letras: P8 = 8!= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 anagramas
09) Quantos anagramas têm as palavras: Itatiaia e Matemática?
Há letras repetidas: 3 i , 3a,2t e 3i para Itatiaia, 2m , 3a e 2t para Matemática.
Então, temos permutação com repetição.
10) Com relação a palavra MÁGICO:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por M?
c) Quantos anagramas começam por M e terminam com O?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas têm as vogais juntas?
a) Cada anagrama é formado pela permutação das letras da palavra M, A G, I, C, O. Portanto o número procurado é: P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
b) Colocando M na primeira posição, sobram 5 letras para serem permutadas:
P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
c) Colocando M na primeira posição e O na última, sobram 4 letras para serem permutadas:
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Vogal na primeira posição:
A - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
I - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
O - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
Dessa forma: 120 + 120 + 120 = 360anagramas
e) Se as vogais A, I, O devem estar juntas, então elas funcionam com se fossem “uma letra” que deve ser permutada com M, G e C. Desse modo: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Porém, em cada uma dessas permutações, as vogais podem se permutar entre si:
P3 =3! = 3 x 2 x 1 = 6 formas. Portanto o total, aqui, de anagramas é: 6 x 24 = 144
11) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem juntas?
· Tomando três pessoa como uma única, por exemplo, ABC = X. Não esquecer que de devemos permutar ABC: P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
· Retirando 1 pessoa das três: 3 – 1 =2
· Retirando 3 pessoas de 9 → 9 – 3 = 6 e 9 – 2 = 7
· Portanto: P7 x P6 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 3.628.800 modos
12) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem afastadas o mais possível?
· Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6
· Então: P6 x P3 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos
13) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem sentadas nas cadeiras centrais?
· Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6
· Então: P6 x P3 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos
14) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em cadeiras colocadas em linha, estando duas determinadas pessoas em posições extremas?
· Duas pessoas sentadas em duas cadeiras→ 9- 2 = 7 e 9 – 2 = 7
· Portanto: 2 x P7 = 2 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10.080 modos
15) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começa podemos formar?
· Tomemos, por exemplo: A-E-I-O-U e B-C-D
· Total de letras: 4 + 3 = 7
Portanto: P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040disposições
16) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por uma determinada vogal, podemos formar?
· Total de letras: 4 + 3 = 7
· Escolhendo uma vogal: 7 – 1 = 6
Portanto: P6 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =720 disposições
17) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por vogais existem?
· Há 4 possibilidades para a 1ª casa (A-E-I-O-U)
· Colocando uma vogal restam: 7 – 1= 6 letras
· Há 3 possibilidades de se colocar consoantes na 2ª casa
Portanto: 3 x P6 = 3 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2.160 disposições
18) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por certa vogal e terminadas por determinada consoante existem?
· Escolhendo, por exemplo, A e B→7 – 2 = 5
· P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 disposições
· Podemos raciocinar, também, assim:
a) Colocando uma vogal no início e um consoante no final:
1V | 1C |
1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 120
19) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras podem ser formadas, sabendo que as vogais ocupam sempre as 3 primeiras posições?
· Total de letras: 4 + 3 = 7
· Retirando 3 vogais: 7 – 3 = 4 letras
· Tomando por exemplo, 3 vogais aleatoriamente: A-E-I
A | E | I | 4 | 3 | 2 | 1 |
· Portanto: P3 x P4 = 6 x 24 = 144 disposições
20)Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, com duas determinadas vogais justapostas, podemos formar?
· Considerando as duas vogais como uma única vogal, por exemplo, AE = X, restam→ 7 – 1 = 6 letras;
· No entanto, as vogais podem permuta-se entre s: AE→EA→ P2
AE | ||||||
EA |
· Portanto: P2 x P6 = 2 x 720 = 1.440 disposições
21) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por certa vogal e terminadas por consoante podemos formar?
· Para a primeira posição temos 3 possibilidades, por exemplo, B-C-D;
· Para a última posição temos 4 possibilidades: A-E-I-O-U
· Colocando 1 consoante na primeira posição e uma vogal na última, restam: 7 – 2 = 5 letras para ser distribuídas.
· Portanto: 3 x P5 X 4 = 3 x 120 x 4 = 1.440 disposições
22) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas com vogais e consoantes intercaladas podemos formar?
V | C | V | C | V | C | V |
· Portanto: P4 x P3 = 24 x 6 = 144 disposições
23)Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas com vogais e consoantes intercaladas podemos formar, sabendo que determinada vogal sempre será colocada depois de certa consoante?
Solução:
· Sempre haverá o par consoante- vogal, por exemplo, BA;
· Observe que BA pode se repetir, uma vez que não há restrição para isso;
· Primeiro façamos a permutação do total de letras: P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5.040
· Mas foram contados repetidamente os pares BA, portanto devemos dividir P7 por 2
· 5.040 5 ÷ 2 = 2.520 disposições
24) Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas disposições de sete letras podem ser formadas com duas consoantes nas duas últimas posições e com as demais vogais e consoantes intercaladas?
V | C | V | C | V | C | C |
· 2 consoantes: P2 = 2 x 1 = 2
· Temos 4 consoantes e 3 vogais→4 x 3 =
· Portanto: 12 x P4 x P 2 = 12 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 144 disposições
25)Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas disposições de sete letras distintas podem ser formadas, sabendo que , sempre duas consoantes são seguidas por 3 vogais e estas, de novo seguidas por duas consoantes?
C | C | V | V | V | C | C |
· Portanto: P4 x P3 = 4 x 3 x 2 x1 x 3 x 2 x 1 = 144 disposições
26)De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa?
· Elementos: Elementos: ❶, ❷, ❸, ❹,,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
· P9 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 modos
27) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que as de números 5 e 6 saiam juntas?
· Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
· Considerando ❺ e ❻uma única bola → 9 – 1 = 8
· Portanto: P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes
28) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que a de número 7 seja a primeira a ser retirada?
· Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
· Sacando a ficha de nº ❼, restam → 9 – 1 = 8
· Portanto: P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes
29) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que a de número 6 seja retirada antes da de número 8?
· Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
· ❻ antes da bola ❽ → ❻ e ❶, ❻ e ❷, por exemplo. Sempre vai ocorrer o par ❻ e outra bola que não seja a bola ❽, portanto: P9/2 = 362.880 ÷ 2= 181.440 maneiras
30) Qual a soma dos produtos obtidos de todas as multiplicações dos fatores 2, 3, 4, 5, em que o 1º fator é o 2?
· A ordem dos fatores não altera o produto;
· O fator 2 sempre virá primeiro, portanto:
· Veja que o fator 2 se repete por 3 vezes: P3
· P3 x 120 = 24 x 120 = 2.880
31)Qual a soma das multiplicações de todos os produtos dos fatores 2, 3, 4, 5?
· 2 x ....
· 3 x ....
· 4 x ...
· 5x ....
· Temos 4 multiplicações utilizando todos os algarismos do problema.
· O produto ser á sempre 120, portanto: P4 x 120 = 24 x 120 = 2.880
32) Qual a soma das multiplicações de todos os produtos dos fatores 2, 3, 4, 5, em que os fatores 3 e 4 ocupam, nessa ordem, as duas primeiras posições?
· Elementos: {2, 3, 4, 5} = 4 elementos;
· Considerando 3 e 4 como um único algarismo: {2, 34, 5} = 3 elementos
· O produto ser á sempre 120, portanto: P3 x 120 = 12 x 120 = 1.440
33) Qual a soma dos números de 6 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?
· A forma genérica de um número com 6 algarismos diferentes é: ABCDEF
· P(6 – 1)! = P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120
· 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
· 100.000 + 10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 111.111
· Portanto: 120 x 15 x 111.111 = 199.999.800
34) Qual a soma dos números de 5 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5?
· A forma genérica de um número com 6 algarismos diferentes é: ABCDE
· P(5– 1)! = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
· 10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 11.111
· Portanto: 24 x 15 x 11.111 = 3.999.960
35) Qual a soma de todos os algarismos dos números formados pelas permutações simples dos algarismos significativos?
· Números significativos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 9 →P9 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880
· 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
· Portanto: 45 x 362.880 = 16.329.600
36) Qual a soma dos números pares de 5 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7?
· Para serem pares, nesse caso, devem terminar em 2 – 4 – 6 = 3 algarismos
· P(5– 1)! = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
· Portanto: 3 x 20 x 24 = 1.440
37) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número 68.412?
O número será preenchido de:
Portanto: 3 x P4 x 3 x P3 2 x P2 = 3 x 24 + 3 x 6 + 2 x 2 = 72 + 18 + 4 = 94
O número seguinte é68.412 que ocupa a 94 + 1 = 95ª posição
38) Escritos em ordem crescente os números formados pelas permutações simples dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 43.512?
O número será preenchido de:
Portanto: 3 x P4 x 2 x P3 2 x P2 = 3 x 24 + 2 x 6 + 2 x 2 = 72 + 12 + 4 = 88
O número seguinte é43.512 que ocupa a 88 + 1 = 89ª posição
39) Permutando-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números em ordem crescente. Determine:
a) Que lugar ocupa o número 62.417?
b) Que número ocupa o 66º lugar?
a) O número será preenchido de:
· 1xxxx → P4
· 2xxxx → P4
· 4xxxx → P4
· 61xxx → P3
Portanto: 3 x P4 x P3 x P2 = 3 x 24 + 6 + 2 = 72 + 8 = 80
O número seguinte é62.417 que ocupa a 80 + 1 =81ª posição
Começados por: | Quantidade: | Acumulado: |
1 | P4 = 24 | 1 x 24 = 24 |
2 | P4 = 24 | 2 x 24 = 48 |
41 | P3 = 6 | 48 + 6 = 54 |
42 | P3 = 6 | 54 + 6 = 60 |
46 | P3 = 6 | 60 + 6 = 66 |
O último e maior número começa por 46, portanto: 46.721
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