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Ângulo externo em polígonos regulares
Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.
Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:
$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$
É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.
5.1
Exemplo: ângulos externos de um octógono regular
Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:
\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}
5.2
Exemplo: determinar o número de lados
Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.
Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula
$$a_e = \dfrac{360}{n},$$
substituindo $a_e = 20$:
\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}
Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.
Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.
5.3
Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares
Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?
Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:
\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}
E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:
\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}
Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,
\begin{align}
\large \frac
{S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}
Logo, o polígono é um hexágono.
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Projeto Jovem Nota 10 Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A Professor Marco Costa Diagonais e soma dos ângulos internos de um polígono. Soma dos ângulos internos de um polígono Si = 180 (n – 2) Soma dos ângulos externos de um polígono A soma dos ângulo externos de um polígono sempre é igual a 360°. Se = 360° Número de diagonais de um polígono 2 )3( nnd Exercícios: 1. Qual o número de diagonais do octógono. a) 30 b) 50 c) 20 d) 14 e) 9 2. Qual é o polígono em que o número de diagonais é o triplo do número de lados? a) hexágono b) octógono c) eneágono d) decágono e) pentadecágono 3. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é de 900°. Calcule o número de diagonais desse polígono. a) 5 b) 15 c) 14 d) 9 e) 28 4. Três polígonos regulares têm respectivamente n, n + 1 e n + 2 lados. Calcule quantos lados têm cada um sabendo que a soma de todos os ângulos internos vale 1620°. a) 3, 4 e 5 b) 4, 5 e 6 c) 5, 6 e 7 d) 6 , 7 e 8 e) 7 , 8 e 9 1 Projeto Jovem Nota 10 Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A Professor Marco Costa 5. Calcular a soma dos ângulos internos e a dos ângulos externos de decágono. 6. Qual é o polígono convexo cujo soma dos ângulos internos é 1800º? 7. A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lado é 2340º. Determinar n. 8. Ache o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080º. 9. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo aumentada da soma dos ângulos externos desse polígono é igual a 1620 graus. Qual é o polígono? 10. A soma dos ângulos internos de um polígono excede a soma de seus ângulos externos de 540º. Qual o número de lados desse polígono? 11. Qual o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos excede a soma dos ângulos externos de um ângulo de meia volta? 12. Dê o número de lados do polígono convexo no qual a soma dos ângulos interno excede de 720º a soma dos ângulos externos. 13. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é igual a soma dos ângulos externos? 14. O polígono regular cujo ângulo interno mede 162º é .......................................... 15. Quantos lados tem um polígono regular convexo cujo ângulo interno mede 144º? 16. Quanto vale o ângulo interno de um polígono regular de 9 lados? 17. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo exterior mede 15º? 18.Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 45º? 19. Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 156º? 20. Qual é o polígono regular cujo ângulo interno é igual ao ângulo externo ? 21. Quanto]s lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do externo? 22. A diferença entre o ângulo interno e o externo de um polígono regular convexo é de 60º. Quantos lados tem o polígono? 23. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 1260º. Determine o valor do ângulo externo . 24. Qual é o polígono regular cujo ângulo externo aumentado de um ângulo reto é igual ao seu ângulo interno ? 2 Projeto Jovem Nota 10 Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A Professor Marco Costa GABARITO: 1. C 2. C 3. C 4. C 5. 1440º e 360º 6. Dodecágono 7. 15; 8. Octógono 9. Eneágono 10. 7 11. Pentágono 12. 8 13. Quadrilátero 14. Icoságono 15. 10 16. 140 17. 24 18. Octógono 19. 15 20. Quadrado 21. 6 22. 6 23. 40ª 24. Octógono 3