Quantos são os anagramas da palavra cidade em que as vogais aparecem juntas?

1. Definir Permutação com Repetição.
2. Mostrar como obter a lista com todas as permutações com repetições de \(n\) elementos no Sage.
3. Mostrar como calcular o número de permutações com repetições de \(n\) elementos.
4. Exemplificar.

Quantos são os anagramas da palavra SAGEMATH?

Observe que a palavra SAGEMATH possui 8 letras, mas a letra A aparece duas vezes, o restante aparece apenas uma vez. Podemos imaginar, por enquanto, que a palavra é assim

\begin{equation*} SA_1GEMA_2TH \end{equation*}

com \(A_1\neq A_2\text{,}\) nesse caso teríamos um total de

\begin{equation*} P_8 = 8! \end{equation*}

permutações.

Agora vamos resolver o problema das repetições. Observe que para cada permutação, trocar os A's de lugar não muda o anagrama. Portanto, precisamos dividir do total de permutações, o número de maneiras de ordenar os A's, como se fossem elementos distintos. Dessa forma, a resposta é

\begin{equation*} \frac{P_8}{P_2}=20160. \end{equation*}

Quando permutamos uma lista de objetos, na qual, nem todos os elementos são distintos, precisamos considerar que permutar dois elementos idênticos não gera uma nova permutação. Este tipo de permutação é chamado de permutação com repetição.

\begin{equation*} r_1+r_2+\cdots+r_k=n \end{equation*}

\begin{equation*} PR_n^{r_1, r_2, \ldots, r_k}. \end{equation*}

\begin{equation*} PR_n^{r_1, r_2, \ldots, r_k} = \frac{n!}{r_1!\times r_2!\times\cdots\times r_k!}. \end{equation*}

\begin{equation*} \underbrace{A_1A_1\ldots A_1}_{r_1 \text{ vezes}} \underbrace{A_2A_2\ldots A_2}_{r_2 \text{ vezes}}\ldots\underbrace{A_kA_k\ldots A_k}_{r_k \text{ vezes}} \end{equation*}

\begin{equation*} PR_n^{r_1, r_2, \ldots, r_k} =~ C_n^{r_1}\times C_{n-r_1}^{r_2} \times \cdots \times C_{r_k}^{r_k} \\ \end{equation*}

\begin{equation*} PR_n^{r_1, r_2, \ldots, r_k} = \frac{n!}{r_1!\underbrace{(n-r_1)!}_{x_1}}\cdot\frac{\overbrace{(n-r_1)!}^{x_1}}{r_2!\underbrace{(n-r_1-r_2)!}_{x_2}}\cdots\frac{\overbrace{n_k!}^{x_k}}{n_k!\underbrace{(n_k-n_k)!}_{=1}} \end{equation*}

\begin{equation*} PR_n^{r_1, r_2, \ldots, r_k}= \frac{n!}{r_1!\times r_2!\times\cdots\times r_k!}. \end{equation*}

Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA?

Temos uma palavra com 10 letras. Das 10 letras, temos 3 A's, 2 M's e 2 T's e as outras aparecem uma única vez, portanto o número de anagramas desta palavra é

\begin{equation*} PR_{10}^{3, 2, 2} = 151200. \end{equation*}

Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA que começam por vogal?

Se o anagrama começa por vogal, temos as possibilidades, A ou E ou I.

Começando com A, temos um total de \(PR_9^{2, 2, 2}\) anagramas, começando com E, temos um total de \(PR_9^{3, 2, 2}\) anagramas e começando com I, temos um total de \(PR_9^{3, 2, 2}\) anagramas. Portanto a resposta é

\begin{equation*} PR_9^{2, 2, 2} + 2\times PR_9^{3, 2, 2} = 75600. \end{equation*}

Este cálculo pode ser efetuado no Sage da seguinte maneira:

De quantos modos podemos dividir 12 pessoas em três grupos de quatro pessoas cada?

Use os números de 1 à 12 para representar as pessoas. Desta forma, a posição de cada permutação dos dígitos:

\begin{equation*} 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 \end{equation*}

serve para representar quem está no grupo 1, no grupo 2 e no grupo 3, respectivamente. Assim pela ordem que está escrito, os números que estão no grupo 1 são: \(1, 2, 3, 4\text{,}\) no grupo 2 são \(5, 6, 7, 8\) e no grupo 3 são \(9, 10, 11, 12\text{.}\)

Desta forma, usando permutação com repetição para

\begin{equation*} 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3\text{,} \end{equation*}

o número de maneiras de dividir 12 pessoas em três grupos, levando em consideração a ordem dos grupos é

\begin{equation*} PR_{12}^{4, 4, 4} = \frac{12!}{4!4!4!}. \end{equation*}

Como a ordem dos grupos não é importante, estamos contando a mais. Assim, precisamos dividir tudo pelo número de maneiras de ordenar os 3 grupos que é 3!. Portanto a resposta é

\begin{equation*} \frac{12!}{4!4!4!3!} = 5775. \end{equation*}