PLANO DE AULA Show Tempo Previsto: 7 aulas Tema da Aula: Potência e Raiz Objetivos Operacionais: Motivação: Introdução do tema e aula expositiva provocando a participação da turma. Estrutura do conteúdo a ser trabalhado: Metodologia: Aula expositiva interativa com utilização de imagens e objetos relacionados ao tema. Recursos didáticos a serem utilizados: Quadro ou transparência. Procedimentos de fixação/avaliação: Participação dos alunos em sala de aula, trabalhos em grupos ou lista de exercícios. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) As quatro operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela. Vale relembrar, de forma rápida, a definição de potenciação antes de prosseguir com a explicação de suas propriedades. Definição de potenciação A potenciação é a operação matemática baseada em um produto, na qual todos os fatores são o mesmo número real. Exemplo: 7·7·7·7 O número real que se repete é chamado de base da potência, e a quantidade de vezes que ele repete-se é denominada expoente da potência. É possível reescrever uma potência com notação própria, colocando o expoente à direita da base, como um índice superior. Veja o exemplo anterior escrito na notação de potência: 7·7·7·7 = 74 De forma geral, as potências são definidas como: an = a·a·a·...·a, em que a repete-se n vezes. Propriedades da potenciação A potenciação possui oitopropriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação: 1 – Expoente zero Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0: a0 = 1 2 – Expoente unitário Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0: a1 = a 3 – Produto de potências de mesma base O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências. Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) an∙am = an + m Para verificar isso, observe o exemplo: a4·a2 = a·a·a·a·a·a = a6 = a4 + 2 4 – Divisão de potências de mesma base Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas. Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos: an:am = an – m Para verificar isso, observe o exemplo: a9:a7 = a9 – 7 = a2 Isso acontece porque: a7:a9 = a7 = aaaaaaaaa = aa = a2 5 – Potência de potência Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base. Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos: (an)m = an·m 6 – Potência cuja base é uma divisão ou um produto Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos: (a·b)n = an·bn Se a base for uma divisão, teremos: (a:b)n = an:bn Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração. 7 – Expoentes negativos Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida. Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos: 8 – Potências com expoente racional Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:
Como calcular potências com bases iguais?Multiplicação e divisão de potências
No caso da multiplicação de bases iguais, é só mantê-las e somar os expoentes, como: 5².5³= 5²+³= 5⁵. Já a divisão com bases iguais, é necessário mantê-las e subtrai os expoentes, como: 53/5³-² = 5³-² = 5¹.
Como resolver produto de potência de mesma base?O produto de potências com a mesma base é igual a uma potência com a mesma base e com expoente igual à soma dos expoentes.
Como aplicar a propriedade da potência?an = a·a·a·... ·a, em que a repete-se n vezes. O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.
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