Hoje irei demonstrar para você como chegar a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de "n" lados. Devemos conhecer as definições de algumas palavras chaves antes de darmos início à matéria propriamente dita. Devemos definir o que é uma linha poligonal, um polígono e por fim o que é um polígono convexo. Show
Linha PoligonalÉ uma linha formada por um conjunto de retas sucessivas e não-colineares. Recomendo que antes de você continuar lendo esta publicação leia nosso artigo sobre o que é uma linha poligonal para não ter dúvidas a respeito desse conteúdo e fundamentar ainda mais o conteúdo abaixo sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. É uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Por exemplo:Polígono ConvexoUm polígono convexo é aquele em que se pegarmos dois pontos quaisquer pertencentes ao polígono e traçarmos uma reta entre esses dois pontos, toda essa reta deve pertencer também ao polígono. Veja isso esquematicamente falando:
Veja o próximo exemplo a seguir:Note que se pegarmos o ponto A, pertencente ao polígono, e traçarmos uma reta até o ponto B, também pertencente ao polígono, nem toda a reta que foi formada estará contida dentro do próprio polígono portanto, nesse caso, dizemos que esse é um polígono não convexo ou côncavo. Demonstração da soma dos ângulos internos de um polígono convexoAgora que já sabemos as definições necessárias vamos dar início a matéria sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Primeiramente devemos saber que para todo triângulo a soma de seus ângulos internos vale sempre 180°. Sabendo disso podemos começar a fazer algumas observações nos seguintes exemplos abaixo, veja: Lembre-se: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180°. Agora vamos determinar a soma dos ângulos internos desse quadrilátero ao lado a partir do simples conhecimento de que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Observe que podemos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, veja na figura seguinte como ficaria: Veja que esse quadrilátero é formado por dois triângulos. Então se quisermos saber a soma dos ângulos internos dele basta sabermos a soma dos ângulos internos dos dois triângulos que o formam, e como um triângulo possui 180° de soma dos ângulos internos então dois triângulos vão possuir 2 · 180° = 360°, ou seja, a medida dos ângulos internos do quadrilátero vale 360°. Vamos ao próximo exemplo:Vamos determinar a soma dos ângulos internos desse pentágono, para isso vamos escolher um de seus vértices e a partir dele iremos traçar retas aos outros vértices que faltam e veremos no final que esse pentágono pode ser dividido em três triângulos, veja: Para determinar a soma de seus ângulos internos basta multiplicarmos 180° por 3,
pois temos 3 triângulos formando esse pentágono, então: 3 · 180° = 540°. Descobrimos que a soma dos ângulos internos de um pentágono vale 540º. Veja o hexágono a seguir: Note que podemos dividir esse hexágono em quatro triângulos com aquele mesmo processo de antes, escolhendo um de seus vértices e a partir dele traçando retas aos vértices que faltam, veja:
Agora para saber a soma dos ângulos internos desse hexágono basta multiplicarmos 180º pelo número de triângulos que esse hexágono é formado. Como são 4 triângulos então temos que: 4 · 180° = 720°,
ou seja, a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono vale 720°. Veja que quando fomos determinar a soma dos ângulos internos do quadrilátero conseguimos dividi-lo em 2 triângulos, quando fomos para o pentágono conseguimos dividi-lo em 3 triângulos e quando fomos para o hexágono conseguimos dividi-lo em 4 triângulos.
Se continuássemos com os exemplos notaríamos também que um polígono de 7 lados é composto por 5 triângulos, um polígono de 8 lados é composto por 6 triângulos. A soma dos ângulos internos de um polígono de "n" lados é igual a 180° vezes o número de lados menos 2, pois é o número de triângulos que formam o polígono. Podemos concluir então que: A soma dos ângulos internos = 180° · (n – 2) Apenas para deixar mais organizada a equação irei substituir o termo "A soma dos ângulos internos" por Si, resultando na seguinte equação: Si = 180° · (n – 2)Essa é a fórmula que utilizamos para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Para fundamentar melhor esse conteúdo irei mostrar um exemplo de como aplicar essa fórmula em uma pergunta sobre polígono convexo e ângulo interno, veja: Pergunta:Determine a soma dos ângulos internos de um Heptágono regular. Resposta:Primeiro devemos saber que um heptágono regular possui 7 lados. Então já podemos concluir que o número de lados do polígono em questão é 7 ou seja: n = 7. Agora basta substituirmos o valor de "n" na fórmula para calcular a soma dos ângulos internos que acabamos de demosntrar, veja: Si = 180 · (7 - 2) Si = 180 · (5) Si = 900º Um grande abraço e a até a próxima. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo Como calcular a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo?Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por: S = (V − 2) 360◦.
Como calcular a soma dos ângulos internos de um polígono irregular?Para fazê-lo, subtraia 2 do número de lados, e multiplique a diferença por 180. O resultado vai ser, em graus e será a soma dos ângulos internos do polígono.
Qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo?A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é sempre igual a 360º. Tal resultado segue da soma dos ângulos internos de um triângulo.
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