Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. Show A*B = B*A = In Lembre-se que matriz identidade de ordem n (In) é uma matriz onde os elementos de sua diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são
iguais a 0. Por exemplo: Exemplo 1 Dadas as matrizes A e B, verifique se uma é inversa da outra.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Multiplicar as matrizes e verificar se o resultado consiste em uma matriz identidade.
Podemos verificar que A-1 é inversa de A, pois a multiplicação entre elas obteve como resultado uma matriz identidade. Exemplo 2 Vamos determinar se existe a matriz inversa de A. Para determinar a inversa de uma matriz, basta multiplicar a matriz dada por uma matriz genérica de termos a11, b12, c21, d22, dada a igualdade a uma matriz identidade. Observe: Resolvendo os sistemas:
Assim, temos que a matriz inversa é:
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja: SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Existência de uma matriz inversa"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/existencia-uma-matriz-inversa.htm. Acesso em 06 de janeiro de 2023. De estudante para estudanteMande sua pergunta4.3 Matriz inversaAgora que temos definido um produto de matrizes, é natural de nos perguntarmos quais das propriedades usuais do produto entre números reais se mantém válidas. Por exemplo, a matriz identidade In é a matriz quadrada de ordem n×n que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. No caso 3×3, temos
Esta matriz satisfaz AIn=A para qualquer matriz A de ordem m×n. Da mesma forma, temos InB=B para qualquer matriz B de ordem n×m (observe atentamente os índices!). O nome identidade vem desta propriedade, que é parecida com a propriedade da unidade nos números reais: 1⋅x=x=x⋅1. Existindo a matriz identidade, outra pergunta natural é se existe um inverso multiplicativo. Para números reais, qualquer número não nulo possui:
isto é, satisfaz x⋅x−1=1. Vamos procurar por matrizes inversas: dada uma matriz A, queremos encontrar uma matriz A −1 de modo que
Escrevemos de duas formas diferentes acima, pois o produto de matrizes não é comutativo. A matriz A−1 é chamada a matriz inversa de A. Observe que A deve ser quadrada (por quê?). 4.3.1 Caso 2×2Vamos procurar pela inversa de Escrevemos e queremos descobrir os valores x1,x2, y1,y2 que satisfazem
Pela interpretação que demos anteriormente ao produto de matrizes, encontrar
é equivalente a resolver ao mesmo tempo os dois sistemas
A ideia é então resolver por escalonamento os sistemas cuja matriz aumentada associada é: Tem-se
Daí concluimos (depois colocar em evidência o fator ad−bc que está dividindo) que:
Nesta última expressão, definimos o determinante de uma matriz de ordem 2×2: e, como foi necessário dividir por este valor, concluimos que:
Observação 26.Veremos na seção seguinte que o processo que utilizamos para inverter a matriz A funciona para matrizes de qualquer ordem, mas é trabalhoso. No caso de uma matriz 2×2, talvez seja interessante memorizar a fórmula, já que não é tão complicada. Podemos pensar da seguinte maneira:
Atenção! Este método apenas funciona para matrizes quadradas de ordem 2×2! Exemplo 27. Sejam as matrizes
Calculamos
Logo, A possui inversa e temos
(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal e de sinal os elementos da outra diagonal). Façamos o mesmo para a matriz B:
Logo,
(trocamos de lugar os elementos da diagonal principal – neste caso eram iguais – e de sinal dos elementos da outra diagonal). Já para a matriz C, temos
e portanto C não é invertível (isto é, não existe a matriz inversa C−1). 4.3.2 Algoritmo para ordem maiorConsidere uma matriz de ordem n×n:
Para obter a matriz inversa, devemos ter:
Da mesma forma que na seção anterior, isto é equivalente a resolver simultaneamente os sistemas:
onde x→1,x→2,…,x→n são as colunas da matriz inversa A−1. Assim, devemos escrever a matriz aumentada associada a estes sistemas lineares:
ou, de forma mais sucinta, E este é o algoritmo de resolução: Deixar a matriz A em forma escalonada reduzida (até chegar na matriz identidade) de modo que as soluções obtidas já serão a matriz inversa de A: Observação 28.Para que seja possível encontrar as soluções, como indicado acima, a forma escalonada da matriz A deve possuir n posições de pivô (caso contrário, algum dos sistemas acima seria impossível), de modo que todas as colunas de A são colunas pivô. Se A possuir alguma coluna sem posição de pivô, podemos parar imediatamente o algoritmo, pois isto significa que a matriz não é invertível. Exemplo 29.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:
De acordo com o algoritmo, devemos escalonar
Caso a matriz seja invertível, conseguiremos deixar a matriz identidade do lado esquerdo desta matriz aumentada. Começamos eliminando os termos da primeira coluna (abaixo do 2 que está na posição de pivô):
Concluimos que
Verifique como exercício que esta matriz é de fato a matriz inversa de A, isto é, calcule o produto A⋅A−1 e verifique que resulta em I4 . Notamos que, caso nosso único interesse fosse decidir se A é invertível, sem necessariamente calcular sua inversa, poderíamos ter feito o escalonamento de A (nem precisa ser da matriz aumentada I|A−1) e parado o processo quando chegamos em
pois já está claro que todas as colunas possuem posição de pivô. Exemplo 30.Vamos decidir se a matriz abaixo é invertível e, em caso afirmativo, determinar a inversa:
De acordo com o algoritmo, devemos escalonar
Temos
Portanto, a terceira coluna não possui posição de pivô e a matriz A não possui inversa. 4.3.3 Aplicação na resolução de sistemas linearesSistemas lineares de ordem n×n cuja matriz associada A é invertível, são sistemas que possuem exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn (ver Subseção 4.3.4). A existência da matriz inversa A−1 permite-nos multiplicar ambos os lados do sistema por A−1 para obter x→=A−1⋅A=A−1b→. Logo, Exemplo 31.Resolver o sistema
Já calculamos a matriz inversa no Exemplo 27:
Segue que a solução é
Embora nossa solução do sistema possa parecer “elegante” ao utilizar a matriz inversa, este método é muito ineficiente. Na verdade, escalonar a matriz aumentada associada ao sistema exige um custo computacional muito menor do que calcular a inversa da matriz e, portanto, em geral se usa o escalonamento. Matrizes inversas têm uma importância mais teórica no nosso curso, como veremos na subseção abaixo. 4.3.4 Uma primeira caracterização de matrizes invertíveisVamos, nesta subseção, verificar (provar de forma rigorosa) que “a matriz A é invertível se, e somente se, o sistema linear Ax→=b→ possui exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝn.” (⇒) Se A é invertível, então conseguimos resolver todos os sistemas
concomitantemente. De fato, qualquer vetor b→ pode ser escrito como
e daí verificamos que se pode construir uma solução x→ pela fórmula
já que pela linearidade do produto da matriz A por vetores, temos Ax→=b1Ax →1+b2Ax→2+⋯+bnAx→n, =b1e→1+b2e→2+ ⋯+bne→n=b→. (⇐=) Reciprocamente, suponhamos que o sistema possua exatamente uma solução, para qualquer vetor b→∈ℝ n. Em particular, podemos resolver os sitemas
e escrever a matriz inversa de acordo com o nosso algoritmo:
Exercícios resolvidosEsta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui. ExercíciosEsta seção carece de exercícios. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui. Como tornar uma matriz Inversivel?Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se e somente se seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz.
Qual a inversa da matriz A?Exemplo: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, a inversa de A é A-1, pela definição, se A é inversível então A . A-1 = In. Como o determinante de A é diferente de zero, então A possui inversa e podemos continuar.
Quando a matriz não existe?Resposta: Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela.
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