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Pré-visualização | Página 2 de 11M2 H2-M2 H3 M1 H3-M1 M2 H3-M2 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPU PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7 �' ∙ �( ∙ ⋯ ∙ �) Vamos resolver novamente os exemplos introdutórios com o auxílio do princípio fundamental da contagem. Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima? Resolução São duas etapas: lançar a primeira moeda e lançar a segunda moeda. Há 2 possibilidades no lançamento da primeira moeda e 2 possibilidades no lançamento da segunda moeda. Portanto, são 2 ∙ 2 = 4 resultados possíveis. Exemplo 2: Em uma urna, há existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola é retirada, observada e é devolvida para a urna. Qual o número de resultados possíveis em 3 extrações sucessivas? Resolução São três etapas: observar a cor da primeira bola, observar a cor da segunda bola e observar a cor da terceira bola. Há 3 possibilidades para a primeira etapa, 3 possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. São, portanto, 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 resultados possíveis. Exemplo 3: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal (homem-mulher)? Resolução São duas etapas: escolher o homem do casal e escolher a mulher do casal. Existem 3 possibilidades para a escolha do homem e 2 possibilidades para a escolha da mulher. Podemos selecionar o casal de 3 ∙ 2 = 6 modos diferentes. � Os passos básicos para resolver os problemas com o Princípio Fundamental da Contagem são os seguintes: i) Identificar as etapas do problema. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. iii) Multiplicar. Exemplo: Para fazer uma viagem Recife-Petrolina-Recife, posso escolher como transporte ônibus, carro, moto ou avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? Resolução Vejamos novamente os passos: i) Identificar as etapas do problema. Escolher o transporte da ida e escolher o transporte da volta. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPU PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8 Temos 4 possibilidades para a ida e 3 possibilidades para a volta (pois não desejo utilizar o mesmo meio de transporte). iii) Multiplicar. 4 ∙ 3 = 12 modos. Quais seriam os 12 modos? (ônibus, carro);(ônibus, moto);(ônibus, avião); (carro, ônibus); (carro, moto); (carro, avião); (moto, ônibus); (moto, carro); (moto,avião); (avião, ônibus); (avião, carro); (avião, moto). Obviamente não precisamos descrever quais são os 12 modos. Mas para um exemplo inicial, fica interessante mostrá-los. 01. (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650 Resolução i) Identificar as etapas do problema. Escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocado. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. Temos 30 possibilidades para o primeiro colocado, 29 possibilidades para o segundo colocado e 28 possibilidades para o terceiro colocado. iii) Multiplicar. 30 ∙ 29 ∙ 28 = 24.360 diferentes maneiras. Letra A 02. (INSS 2009/FUNRIO) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos, existem entre 300 e 900? a) 24. b) 27. c) 48. d) 36. e) 64. Resolução RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPU PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9 O problema exige que utilizemos apenas algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 ou 9. Além disso, devemos utilizar algarismos distintos na formação do número. Como os números devem estar entre 300 e 900, então os números devem possuir 3 algarismos distintos. Vamos seguir o passo a passo. i) Identificar as etapas do problema. Escolher o algarismo das centenas, o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. Só podemos utilizar algarismos ímpares. Como os números estão compreendidos entre 300 e 900, então o algarismo das centenas só pode ser 3, 5 ou 7. Desta forma, há 3 possibilidades para o algarismo das centenas. Já utilizamos 1 dos 5 algarismos que podemos utilizar (1,3,5,7,9). Assim, há 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 3 possibilidades para o algarismo das unidades. iii) Multiplicar. 3 ∙ 4 ∙ 3 = 36 números cujos algarismos são todos ímpares e distintos, compreendidos entre 300 e 900. Letra D 03. (Assistente Administrativo – FURP 2010/FUNRIO) Um “hacker” descobriu os seis algarismos de uma senha, mas não a posição desses algarismos na senha. Ele então desenvolveu um programa de computador para testar combinações distintas desses algarismos até obter o acesso ao sistema pretendido. Com este procedimento, o “hacker” conseguiu descobrir a senha após testar 10% de todas as possibilidades. Sabendo-se que a senha é formada por algarismos distintos, a quantidade de tentativas mal sucedidas realizadas pelo “hacker” foi a) 50. b) 58. c) 65. d) 77. e) 71. Resolução O hacker sabe quais são os 6 algarismos da senha, mas não sabe qual a ordem deles na formação da senha. Sabe também que a senha é formada por algarismos distintos. Desta forma, há 6 possibilidades para o primeiro algarismo, 5 possibilidades para o segundo algarismo, 4 possibilidades para o terceiro algarismo, 3 possibilidades para o quarto algarismo, 2 possibilidades para o quinto algarismo e 1 possibilidade para o sexto algarismo. O total de possibilidades é igual a 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720. O “hacker” conseguiu descobrir a senha após testar 10% de todas as possibilidades. 10% � 720 = 10100 ∙ 720 = 72 � �� ��- � RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPU PROFESSOR: GUILHERME NEVES Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10 Portanto, o “hacker” acertou na 72ª tentativa. Concluímos que o “hacker” fez 71 tentativas mal sucedidas. Letra E (BB 2009/CESPE-UnB) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 04. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. Resolução Para o primeiro colocado temos 5 possibilidades, 4 possibilidades para o segundo colocado e 3 possibilidades para o terceiro colocado. Logo, pelo princípio fundamental da contagem o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 5 x 4 x 3 = 60. O item está errado. 05. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. Resolução Se a equipe A está em primeiro lugar, temos 4 possibilidades para o segundo lugar e 3 possibilidades para o terceiro lugar. Logo, pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 4 x 3 = 12. O item está errado. 06. Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. Resolução Se a equipe A for desclassificada, sobram 4 equipes. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 4 x 3 x 2 = 24, pelo princípio fundamental da contagem. O item está certo. Exemplo: Quantas palavras contendo 4 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? Resolução Atente para o fato de que as letras devem ser diferentes! Há 26 Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três algarismos distintos?Consequentemente, existem 8.8.5 = 320 números ımpares entre entre 100 e 999 que se escrevem com 3 dıgitos diferentes.
Quantos números ímpares diferentes de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 5 6 e 7?1 resposta(s)
1,3,5,7 ou 9, ou seja, 5 possiblidades para a ultima posição e para as outraa três temos, para primeira posição 8 possiblidades, para a segunda posição 7 possibilidades e para a terceira posição 6 possibilidades . Então pelo princípio multiplicativo da contagem temos: 8×7×6×5 = 1680 números ímpares.
Quantos inteiros entre 600 e 700 tem três algarismos distintos a 27?Quantos inteiros entre 600 e 700 têm três algarismos distintos? Para termos números de 3 algarismos distintos entre 600 e 700 o primeiro algarismo é o 6 assim temos: 1.9.8 = 72.
Quantos números positivos e ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados sabendo que o algarismo das dezenas E o 5?Resposta: N=P(5)=120.
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Quantos números inteiros cujos algarismos são todos ímpares e distintos existem entre 300 e 900?
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