De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se num banco de 7 lugares

7 resposta(s)

Teremos uma permutação.

P=(n-p)

P(6-2)

P4

4!= 24 possibilidades.

Joyce Souza

Há mais de um mês

De quantas maneiras distintas, 6 pessoas podem sentar-se:
A) em um banco retangular de 6 lugares?
B) ao redor de uma mesa circular, considerando-se uma ordem de posicionamento na mesa?

Solu��o:

A � trata-se de um problema de permuta��es simples. Portanto, as 6 pessoas poder�o sentar-se num banco rectangular de 6 lugares,  de 6! formas distintas, ou seja:  P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Outra forma de resolu��o seria adotar o seguinte racioc�nio:
A primeira pessoa teria 6 op��es de escolha.
A segunda pessoa, teria 5 op��es de escolha.
A terceira pessoa, teria 4 op��es de escolha.
A quarta pessoa, teria 3 op��es de escolha.
A quinta pessoa, teria 2 op��es de escolha.
Finalmente, a sexta pessoa teria apenas uma op��o de escolha.

Logo, pelo Princ�pio Fundamental de Contagem � PFC , o n�mero total N de possibilidades ser� igual ao produto do n�mero de possibilidades para cada caso, ou seja: N = 6.5.4.3.2.1 = 720

B � no caso de uma mesa circular, considerando-se uma ordem de coloca��o na mesa, digamos, da direita para a esquerda, poderemos raciocinar da seguinte forma:

A primeira pessoa, poder� escolher qualquer lugar.
Para os cinco lugares restantes, restar�o 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades de escolha.

Raciocinando de forma gen�rica, para m pessoas se acomodarem ao redor de uma mesa circular (considerando-se uma ordem de coloca��o na mesa) teremos:
A primeira pessoa, poder� escolher qualquer lugar da mesa. 
Restam (m � 1) pessoas que poder�o se acomodar de (m-1)(m-2)(m-3). ... .1 = (m-1)! maneiras poss�veis.

Portanto, m pessoas poder�o sentar-se ao redor de uma mesa circular, de (m � 1)! formas distintas, (no caso de considerarmos uma ordem de coloca��o na mesa). 

Agora � f�cil!

1 - De quantas formas 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, considerando-se a ordem de posicionamento?
Resposta: 24 maneiras distintas.

Observe que se as 5 pessoas tivessem que sentar-se num banco de 5 lugares, ter�amos 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.
Portanto, quando voc� participar de uma reuni�o numa mesa circular, seja r�pido! Eh eh eh eh ... tente ser o primeiro a se posicionar, pois, neste caso, o n�mero de possibilidades de escolha � menor, se comparado ao n�mero de possibilidades de sentar-se num banco retangular. Muitos gostariam de sentar ao lado do chefe! he he he ...

2 - De quantas formas 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular, sem considerar a ordem de posicionamento?
Resposta: 12. 
Veja o arquivo para saber mais. 

Nota:
T�vola = pe�a circular de osso ou de marfim, empregada em v�rios jogos de tabuleiro, segundo o Novo Dicion�rio Brasileiro Melhoramentos � 7� edi��o. Quem n�o se lembra dos Cavaleiros da T�vola Redonda do lend�rio Rei Artur?

Paulo Marques, 30 de novembro de 2000.

De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?

(Unifor–CE)

Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
 

(UFJF–MG)

Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
 

(ITA–SP)

Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 

a) 144
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360
 

Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras. 

Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____  ____ ____ M  ou M ____ ____ ____ ____ P

2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras

Resposta correta item b. 
 

4 livros de Geometria = P4                                          
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3

P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
2! = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6

P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras

Resposta correta item d.

3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números

1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números

3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números

Resposta correta item a.