Em que tipo de associação de resistores a corrente elétrica sobre todos os componentes é igual?

Resistores

Em Resistores e Lei de Ohm analisamos as relações entre a diferença de potencial em um resistor e a corrente elétrica que flui por este, assim como as relações entre a potência, a d.d.p e a resistência do material. Lembremos essas relações:

$$$U = RiU = Ri$$$

$$$P_{ot} = Ui = Ri^2 = { U^2 \over R}P_{ot} = Ui = Ri^2 = { U^2 \over R}$$$

onde U representa a d.d.p, i a intensidade de corrente, R a resistência elétrica do elemento e Pot a potência associada a ele. 

Essas equações representam a relação entre a d.d.p e um único resistor conectado à essa fonte de tensão. Mas, normalmente, circuitos elétricos apresentam vários resistores conectados entre si através de uma rede. Por exemplo, podemos pensar na rede elétrica de uma residência, onde várias lâmpadas podem ser ligadas ou desligadas. Chamamos de associação de resistores o arranjo entre vários resistores conectados entre si. 

Em qualquer associação de resistores, denomina-se resistor equivalente o resistor que faria o “mesmo papel” que a associação. Entende-se por resistência da associação a resistência do resistor equivalente. Por exemplo, na figura abaixo, queremos encontrar um único resistor (figura 1) que seja percorrido pela mesma corrente elétrica que o circuito com vários resistores (figura 2).

Associação de resistores em série

Vários resistores estão associados em série quando são ligados um em seguida do outro, sem que existam bifurcações nos fios, como mostra a figura abaixo:

Nesse caso, a intensidade de corrente que flui pelos resistores é a mesma, pois não são criados nem destruídos portadores de carga elétrica no condutor. Com isso, teremos o seguinte:

$$$i_1 = i_2 = i_3 = ii_1 = i_2 = i_3 = i$$$

A diferença de potencial é uma grandeza associada à energia criada ou consumida por um elemento. Como a energia se conserva, sabemos que toda a energia gerada pelo gerador será consumida pelos resistores. Assim, a d.d.p nos terminais de uma associação de resistores em série é a soma das d.d.p dos terminais de cada resistor associado.

$$$U = U_1 + U_2 + U_3U = U_1 + U_2 + U_3$$$

Como a diferença de potencial em cada resistor pode ser calculada através da Lei de Ohm (U=R.i), a equação acima nos leva a:

$$$R_{eq}\cdot i = R_1i_1 + R_2i_2 + R_3i_3R_{eq}\cdot i = R_1i_1 + R_2i_2 + R_3i_3$$$

Usando a igualdade entre as correntes:

$$$R_{eq}\cdot i = R_1i_1 + R_2i_2 + R_3i_3 = (R_1 + R_2 + R_3)iR_{eq}\cdot i = R_1i_1 + R_2i_2 + R_3i_3 = (R_1 + R_2 + R_3)i$$$

Logo:

$$$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$$$

A resistência equivalente de uma associação de resistores em série é a soma das resistências dos resistores associados.

Caso Particular
Quando são associados n resistores iguais de resistência R em série, podemos escrever, para a Req do resistor equivalente:

$$$R_{eq} = n\cdot RR_{eq} = n\cdot R$$$

Nesse caso, todos os resistores associados estarão submetidos a d.d.p iguais (U), de tal modo que a d.d.p (Utotal) na associação pode ser escrita:

$$$U_{total} = n \cdot UU_{total} = n \cdot U$$$

A associação em série costuma ser usada, por exemplo, na ligação de lâmpadas numa árvore de Natal. O inconveniente é que, se uma lâmpada for desligada ou queimar, o circuito é interrompido e todas as demais se apagam.

Associação de Resistores em Paralelo

Vários resistores estão associados em paralelo quando são ligados pelos mesmos pontos, de modo a ficarem submetidos à mesma d.d.p.

A intensidade de corrente i do circuito principal divide-se entre os ramos dos resistores. Usando a conservação da carga elétrica, podemos afirmar que a corrente que entra em uma bifurcação de fios, ponto que chamamos de nó, tem a mesma intensidade das correntes que saem do mesmo.

Logo, a intensidade de corrente em uma associação de resistores em paralelo é a soma das correntes nos resistores associados.

Nesse caso, como a diferença de potencial é a mesma para todos os resistores, podemos escrever: 

$$$U_{total} = U_1 = U_2 = U_3U_{total} = U_1 = U_2 = U_3$$$

$$$R_{eq}i = R_1i_1 = R_2i_2 = R_3i_3R_{eq}i = R_1i_1 = R_2i_2 = R_3i_3$$$

Desta forma, podemos notar que a corrente que passa em um resistor é inversamente proporcional ao valor da resistência. Assim, quanto maior a resistência de um resistor, menor será a intensidade da corrente.

Considerando o fato de que a corrente  total é a soma das correntes individuais e pensando na Lei de Ohm:

$$$i = i_1 + i_2 + i_3i = i_1 + i_2 + i_3$$$

$$$U = R_1i_1 \Rightarrow i_1 = {U \over R_1}U = R_1i_1 \Rightarrow i_1 = {U \over R_1}$$$

$$$U = R_2i_2 \Rightarrow i_2 = {U \over R_2}U = R_2i_2 \Rightarrow i_2 = {U \over R_2}$$$

$$$U = R_3i_3 \Rightarrow i_3 = {U \over R_3}U = R_3i_3 \Rightarrow i_3 = {U \over R_3}$$$

Substituindo:

$$$\frac UR_{eq} = {U\over R_1} + {U\over R_2} + {U\over R_3} \Rightarrow \frac 1R_{eq} = {1\over R_1} + {1\over R_2} + {1\over R_3}\frac UR_{eq} = {U\over R_1} + {U\over R_2} + {U\over R_3} \Rightarrow \frac 1R_{eq} = {1\over R_1} + {1\over R_2} + {1\over R_3}$$$

Em uma associação de resistores em paralelo, o inverso da resistência equivalente da associação é igual à soma dos inversos das resistências associadas.

Casos Particulares
1- Dois resistores
No caso de dois resistores associados em paralelo:

$$$\frac 1R_{eq} = {1\over R_1} + {1\over R_2} \Rightarrow \frac 1R_{eq} = {R_2 + R_1\over R_1 R_2}\frac 1R_{eq} = {1\over R_1} + {1\over R_2} \Rightarrow \frac 1R_{eq} = {R_2 + R_1\over R_1 R_2}$$$

Portanto:

$$$R_{eq} = {R_2 + R_1\over R_1 R_2}R_{eq} = {R_2 + R_1\over R_1 R_2}$$$

2- n resistores iguais a R
Se tivermos n resistores iguais, de resistência R cada um, teremos:

$$$\frac 1R_{eq} = {1\over R} + {1\over R} + \cdots + {1\over R} = n\cdot {1\over R} \Rightarrow\frac 1R_{eq} = {1\over R} + {1\over R} + \cdots + {1\over R} = n\cdot {1\over R} \Rightarrow$$$

$$$R_{eq} = {R\over n}R_{eq} = {R\over n}$$$

Nessa condição, todos os resistores associados serão percorridos por correntes iguais de intensidade i. 

Observação 1: Podemos combinar resistores de formas variadas, onde existam conjuntos de resistores em série e outros em paralelo. Chamamos esses arranjos de associações mistas.

Nesses casos, reduzimos primeiro as associações em paralelo a um único resistor, até obtermos uma associação em série.

Observação 2: Para um número qualquer de resistores, a Req máxima é obtida com todos os resistores em série e a Req mínima é obtida com todos os resistores em paralelo.  Como a potência dissipada é inversamente proporcional à resistência, teremos o seguinte:

Curto-Circuito

Se, num circuito elétrico, os terminais de um resistor forem ligados por um fio condutor de resistência elétrica desprezível, a d.d.p nos terminais desse resistor torna-se nula. 

Nesse caso dizemos que o resistor em questão está em curto-circuito, não sendo atravessado por corrente elétrica. Havendo curto-circuito, toda corrente elétrica do circuito se desvia pelo condutor de resistência nula. Para todos os efeitos práticos, é como se o resistor não estivesse associado no circuito. Num novo esquema do circuito, podemos considerar os pontos ligados pelo condutor como sendo coincidentes, deixando de representar o resistor.