Show Punti di discontinuitàSapete come determinare e classificare i punti di discontinuità di una funzione? Per parlare di punti di non continuità, ricordiamo dapprima la definizione di continuità in un punto di una funzione. Consideriamo una funzione \(f \colon (a,b) \to \mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto appartenente all’intervallo \((a,b)\). Definizione: Facciamo subito qualche osservazione sulla definizione appena considerata. Chiedere che tale limite esista significa richiedere due cose:
Inoltre, chiedere che valga l’uguaglianza \(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\) significa pretendere che tale limite coincida con il valore assunto dalla funzione nel punto \(x_0\). Forti di queste considerazioni, possiamo ora classificare i punti di discontinuità di una funzione. Ci sono vari motivi per cui può cadere la proprietà di continuità di \(f\) in un punto:
Si noti come questa classificazione sia buona in quanto esaurisce tutti i possibili casi che si possono presentare. Facciamo subito qualche esempio per capire di cosa stiamo parlando. Esempio: \(f(x)= Consideriamo il punto \(x_0=0\); abbiamo che \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} -1 = -1,\) Quindi in questo caso limiti sinistro e destro esistono, sono finiti ma non coincidono! Quindi la funzione ha un punto di discontinuità di prima specie o “a salto”. Solitamente si definisce salto il modulo della differenza tra limite sinistro e destro. In questo caso, dunque, il salto vale \(|1-(-1)|=|1+1|=2.\) Uno sguardo al grafico di questa funzione renderà evidente il significato geometrico del concetto di salto. Esempio: \(f(x)= La funzione \(1/x\) tende a infinito per \(x\to 0\). Tuttavia, in base al segno di \(x\), \(1/x\) tende a infinito in modo discorde. Più precisamente: \(\lim_{x\to 0^{\pm}} \frac{1}{x} = \pm \infty.\) Sapendo che l’esponenziale ha comportamenti completamente diversi ai “due diversi infiniti”, quanto appena osservato ci suggerisce di calcolare a parte limiti sinistro e destro di \(f(x)\): \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^{-\infty}=0,\) In questo caso, notiamo che almeno uno (in particolare quello destro) tra limite sinistro e destro non è finito; \(x_0=0\) è dunque un punto di discontinuità di seconda specie. Esempio: \(f(x)= Controlliamo ancora una volta limiti sinistro e destro: \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} 2e^x= 2,\) In questo caso limiti sinistro e destro esistono finiti e coincidono! Quindi esiste \(\lim_{x\to 0} f(x)\) e vale 2. Tuttavia \(f(0)=1\) e dunque \(\lim_{x\to 0} f(x) \neq f(0)\), quindi \(f(x)\) ha in \(x_0=0\) una discontinuità di terza specie, o “eliminabile”. Perché si chiama eliminabile? Per il semplice fatto che, in questo caso, è sufficiente modificare il valore della funzione nel punto \(x_0=0\) per rendere la funzione continua! Possiamo rendere esplicita tale modifica: \(\tilde{f}(x)= \(= \begin{cases} Abbiamo ottenuto una nuova funzione \(\tilde{f}(x)\), che differisce da \(f(x)\) solo in un punto, ma che stavolta è continua! Nota bene! Esempio: \(f(x)=\sin (\frac{1}{x}).\) Notiamo subito che la funzione non è definita nel punto \(x_0=0\), ma lo è altrove. Osserviamo inoltre che non esiste \(\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} \sin(\frac{1}{x}).\) Questo perché, per \(x\) che tende a \(0\), \(1/x\) tende ad \(\infty\); tuttavia, \(\sin\) non ammette limite all’infinito (essendo periodica e non costante). Diciamo dunque diciamo che \(x_0=0\) è un punto di discontinuità di seconda specie per \(f(x)\), nel senso che ogni tentativo di prolungamento di \(f(x)\) in \(x_0=0\) genera una funzione che ha effettivamente un punto di discontinuità di seconda specie in \(x_0=0\). Esempio: \(f(x)= \frac{x^2 – 1}{x-1}.\) Imponendo la condizione di esistenza sul denominatore, notiamo che \(f(x)\) risulta essere non definita in \(x_0=1\). È però definita altrove, e per \(x\neq 1\) vale \(f(x)= \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1.\) Chiaramente abbiamo \(\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} x+1 =2.\) Dunque diciamo che \(x_0=1\) è un punto di discontinuità di terza specie o “eliminabile”, nel senso che \(f(x)\) non risulta definita in \(x_0=1\), ma esiste un prolungamento di \(f(x)\) in \(x_0=1\) che genera una funzione continua. Tale prolungamento è la funzione \(\tilde{f}(x)\), definita su tutto \(\mathbb{R}\), data da \(\tilde{f}(x)= \(= Questi erano i punti di discontinuità di una funzione 😉 Navigazione articoliCome capire i punti di discontinuità?Un punto si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione ( ) quando, per , almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di ( ) è infinito o non esiste.
Come riconoscere una discontinuità di terza specie?Nel caso invece i limiti siano finiti e uguali a l, allora è necessario controllare se f ( x ) f(x) f(x) è definita o no in x 0 x_0 x0; se non lo è, o se lo è e f ( x 0 ) ≠ l f(x_0) \neq l f(x0)≠l, abbiamo una discontinuità di terza specie.
Quando una funzione è discontinua in un punto?Una funzione f(x) è discontinua in un punto x0 se il limite per x che tende a x0 non è uguale a f(x0). limx→x0f(x)≠f(x0) lim x → x 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 ) Il punto x0 è detto punto di discontinuità. La discontinuità è detta discontinuità eliminabile se è possibile tracciare un prolungamento continuo per eliminarla.
Cosa sono i punti di singolarità?singolarità, punto di in geometria, punto di una curva in cui la curva ha un comportamento particolare: sono tali i punti di discontinuità, i punti isolati, i punti multipli ecc. (→ curva).
|