1 Matemática Financeira 2 3 SUSANA APARECIDA DA VEIGA MATEMÁTICA FINANCEIRA 1ª Edição Taubaté Universidade de Taubaté 2014 4 Copyright 2014.Universidade de Taubaté. Todos os direitos dessa edição reservados à Universidade de Taubaté. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade. Administração Superior Reitor Prof.Dr. José Rui Camargo Vice-reitor Prof.Dr. Marcos Roberto Furlan Pró-reitor de Administração Prof.Dr.Francisco José Grandinetti Pró-reitor de Economia e Finanças Prof.Dr.Luciano Ricardo Marcondes da Silva Pró-reitora Estudantil Profa.Dra.Nara Lúcia Perondi Fortes Pró-reitor de Extensão e Relações Comunitárias Prof.Dr. José Felício GoussainMurade Pró-reitora de Graduação Profa.Dra.Ana Júlia Urias dos Santos Araújo Pró-reitor de Pesquisa e Pós-graduação Prof.Dr.Edson Aparecida de Araújo Querido Oliveira Coordenação Geral EaD Profa.Dra.Patrícia Ortiz Monteiro Coordenação Acadêmica Profa.Ma.Rosana Giovanni Pires Coordenação Pedagógica Profa.Dra.Ana Maria dos Reis Taino Coordenação Tecnológica Profa. Ma. Susana Aparecida da Veiga Coordenação de Mídias Impressas e Digitais Profa.Ma.Isabel Rosângela dos Santos Ferreira Coord. de Área: Ciências da Nat. e Matemática Profa. Ma. Maria Cristina Prado Vasques Coord. de Área: Ciências Humanas Profa. Ma. Fabrina Moreira Silva Coord. de Área: Linguagens e Códigos Profa. Dra. Juliana Marcondes Bussolotti Coord. de Curso de Pedagogia Coord. de Cursos de Tecnol. Área de Gestão e Negócios Coord. de Cursos de Tecnol. Área de Recursos Naturais Revisão ortográfica-textual Projeto Gráfico e Diagramação Autor Unitau-Reitoria Polo Taubaté Polo Ubatuba Polo São José dos Campos Profa. Dra. Ana Maria dos Reis Taino Profa. Ma. Márcia Regina de Oliveira Profa. Dra. Lídia Maria Ruv Carelli Barreto Profa. Ma. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira Me.Benedito Fulvio Manfredini Susana Aparecida da Veiga Rua Quatro de Março,432-Centro Taubaté São Paulo CEP: Central de Atendimento: Avenida Marechal Deodoro, 605 Jardim Santa Clara Taubaté São Paulo CEP: Telefones: Coordenação Geral: (12) Secretaria: (12) Av. Castro Alves, 392 Itaguá CEP: Tel.: Horário de atendimento: 13h às 17h / 18h às 22h Av Alfredo Ignácio Nogueira Penido, 678 Parque Residencial Jardim Aquarius Tel.: Horário de atendimento: 8h às 22h V426m Ficha catalográfica elaborada pelo SIBi Sistema Integrado de Bibliotecas/UNITAU Veiga, Susana Aparecida da Matemática Financeira/ Susana Aparecida da Veiga. Taubaté: UNITAU, p. : il. ISBN Bibliografia 1. Matemática Financeira. I. Universidade de Taubaté. II. Título. 5 PALAVRA DO REITOR Palavra do Reitor Toda forma de estudo, para que possa dar certo, carece de relações saudáveis, tanto de ordem afetiva quanto produtiva. Também, de estímulos e valorização. Por essa razão, devemos tirar o máximo proveito das práticas educativas, visto se apresentarem como máxima referência frente às mais diversificadas atividades humanas. Afinal, a obtenção de conhecimentos é o nosso diferencial de conquista frente a universo tão competitivo. Pensando nisso, idealizamos o presente livrotexto, que aborda conteúdo significativo e coerente à sua formação acadêmica e ao seu desenvolvimento social. Cuidadosamente redigido e ilustrado, sob a supervisão de doutores e mestres, o resultado aqui apresentado visa, essencialmente, a orientações de ordem prático-formativa. Cientes de que pretendemos construir conhecimentos que se intercalem na tríade Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de forma responsável, porque planejados com seriedade e pautados no respeito, temos a certeza de que o presente estudo lhe será de grande valia. Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa leitura. Bons estudos! Prof. Dr. José Rui Camargo Reitor v 6 vi 7 Apresentação Fonte:< m/pt-br/clipart/download.aspx>. Acesso em: 01 dez de De uma maneira simples, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática que tem como objeto de estudo o dinheiro ao longo do tempo. Atualmente, possuir ferramentas que possam auxiliar nas tomadas de decisões, tanto na gestão financeira das empresas, quanto nas tomadas de decisões no dia a dia das pessoas, é essencial. Um exemplo comum do uso da Matemática Financeira é quando compramos algo em uma loja no crediário ou no cartão de crédito. Quais os custos envolvidos nessa decisão? Como avaliar monetariamente a decisão? É melhor comprar a vista ou a prazo? Qual o valor do desconto que receberemos, se optarmos por comprar à vista? E se o que estamos querendo comprar for muito importante e com um valor alto, por exemplo, a casa própria? Financiar ou fazer um empréstimo? Como escolher o lugar que oferece a melhor taxa de juros? Assim, a Matemática Financeira torna-se uma ferramenta útil para a análise das alternativas, e sua aplicação, quando bem desenvolvida, trará maior rentabilidade, possibilitando a maximização dos resultados. Ter habilidade para lidar com cálculos e investimentos é hoje muito importante, e a Matemática Financeira ocupa-se do estudo e do fornecimento de ferramentas adequadas para que as tomadas de decisões tenham a maior precisão possível. vii 8 viii 9 Sobre a autora SUSANA APARECIDA DA VEIGA Licenciada em Matemática (Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC SC). Mestre em Engenharia de Produção, na área de Transporte e Logística (UFSC SC). Atua como professora assistente no Departamento de Economia, Ciências Contábeis e Administração. É membro da equipe de produção de materiais do Núcleo de Educação a Distância da Universidade de Taubaté. Atua como professora assistente no Instituto Nacional de Pós-graduação INPG em São José dos Campos SP. Leciona a disciplina Matemática Financeira, na graduação da Universidade de Taubaté, e Engenharia Econômica, na graduação do Instituto Nacional de Pósgraduação. ix 10 x 11 Caros( as) alunos( as) Caros(as) alunos(as), O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta com profissionais capacitados e se apoia em base sólida, que advém da grande experiência adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação, ao longo de mais de 35 anos de História e Tradição. Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial. Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, livros-texto e Web interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação a distância, apoiados por livros-texto produzidos por uma equipe de profissionais preparada especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais. A estrutura interna dos livros-texto é formada por unidades que desenvolvem os temas e subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como subsídio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e atividades aplicadas, cada livro-texto apresenta sínteses das unidades, dicas de leituras e indicação de filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo estudado. Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem. Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais atores desta formação. Para todos, os nossos desejos de sucesso! Equipe EAD-UNITAU xi 12 xii 13 Sumário Palavra do Reitor... v Apresentação... vii Sobre a autora... ix Caros(as) alunos(as)... xi Ementa... 1 Objetivos... 2 Introdução... 3 Unidade 1. Revisão de Matemática Elementar Razão Proporção Propriedades das proporções: Aplicações das proporções Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Regra de três simples Porcentagem Potenciação Propriedades das potências Radiciação Logaritmos Propriedades dos logaritmos Síntese da unidade Para saber mais Atividades Unidade 2. Juros Simples Juro Taxa de juro Simbologia utilizada e Conceitos fundamentais Diagramas de capital no tempo (Fluxos de Caixa) Cálculo dos juros (J) Cálculo do montante (M) xiii 14 2.7 Taxa equivalente (iq) e Taxa proporcional Períodos não-inteiros Juro exato, Juro comercial e Juro bancário Juro exato ( Je) Juro comercial ( Jc ) Juro bancário ( Jb ) Equivalência financeira Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Unidade 3. Juros Compostos Diferença entre os regimes de capitalização Cálculo do montante (M) Cálculo do juro (J) Taxas equivalentes (iq) Períodos não-inteiros Convenção linear Convenção exponencial Taxa efetiva e Taxa nominal Quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa Equivalência de capitais no regime composto A importância da data focal Capitais equivalentes Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Unidade 4. Descontos Desconto Título de crédito Nota promissória Letra de câmbio Duplicata xiv 15 4.3 Desconto simples (d) Desconto racional simples (dr) Desconto comercial simples (dc) Desconto bancário simples (db) Taxa de juros efetiva (if) Relação existente entre Desconto comercial e Desconto racional Descontos compostos (D) Desconto racional composto (Dr) Desconto comercial composto (Dc) Taxa efetiva cobrada (if) Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Unidade 5. Série de Pagamentos ou Anuidades Definições Classificação A periodicidade: Ao prazo: Ao valor dos termos: A forma de pagamento ou recebimento: Dados que compõem uma anuidade Série de pagamentos - Modelo Básico Valor atual do modelo básico Montante do modelo básico Anuidades antecipadas Valor atual de uma anuidade antecipada Valor futuro de uma anuidade antecipada Modelos genéricos de anuidades Anuidades diferidas Anuidade em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere a taxa xv 16 5.6.3 Anuidade com termos constantes, segundo o modelo básico, mais parcelas Intermediárias iguais Anuidades perpétuas Anuidades variáveis Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Unidade 6. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos Definições básicas Sistema de amortização constante (SAC) SAC, sem prazo de carência SAC, com prazo de carência Sistema de amortização francês (SF) Sistema Price Planilha de despesas adicionais Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Unidade 7. Introdução à Análise de Investimentos Fluxos de caixa Taxa mínima de atratividade (TMA) Método do valor presente líquido (VPL) Método da taxa interna de retorno (TIR) O Método do Custo Anual Uniforme (CAU) Síntese da Unidade Para saber mais Atividades Referências Referências Complementares xvi 17 Ementa Matemática Financeira ORGANIZE-SE!!! Você deverá usar de 3 a 4 horas para realizar cada Unidade. EMENTA Revisão de Matemática Elementar. Regime de juros simples e regime de juros compostos. Descontos simples e compostos. Taxas equivalentes e taxas proporcionais. Séries de pagamentos uniformes e não-uniformes. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. Noções sobre análise de alternativas de investimentos: Valor presente líquido (VPL) e Taxa interna de retorno (TIR) e Custo anual uniforme (CAU). 1 18 Obj eti vos Objetivo Geral Apresentar os conhecimentos básicos do cálculo financeiro para que o aluno domine o ferramental básico e necessário para a tomada de decisões envolvendo fluxos financeiros. Objetivos Específicos Adquirir conhecimentos teóricos e práticos da Matemática Financeira através de problemas relacionados com a realidade do dia a dia; Receber os subsídios indispensáveis ao desenvolvimento das disciplinas que dependem do conhecimento prévio desta disciplina; Entender a importância da disciplina para a formação e desenvolvimento do futuro profissional de negócios. Conhecer os regimes de capitalização a definição de capital, montante, rendimento, taxa de juros, taxas equivalentes, nominal e efetiva; Identificar e diferenciar no regime de capitalização simples, taxas proporcionais e equivalentes; Calcular montante, juros, valor nominal, desconto simples e composto, taxa de desconto, taxa equivalente e taxa efetiva; Classificar rendas certas e resolver problemas relacionados às anuidades antecipadas e ao modelo básico; Diferenciar e calcular os diversos sistemas de amortização de Empréstimos e Financiamentos; Analisar a viabilidade econômica de diferentes investimentos, ou projetos de investimentos, por meio dos métodos NPV, da IRR e do CAU e decidir qual é o melhor, financeiramente. 2 19 Introdução Fonte:< m/pt-br/clipart/download. aspx>. Acesso em: 01 dez Quando o homem criou o conceito de capital, o conceito de juros surgiu naturalmente, pois ele percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo, entre o acúmulo de capital e sua desvalorização. A partir daí, as questões Capital: do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. financeiras começaram a fazer parte da nossa vida. A Matemática Financeira utiliza conceitos matemáticos e variáveis, como a taxa de juros, o capital e o tempo para analisar dados financeiros em geral, sendo, dessa forma, uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou no financiamento de bens de consumo, e ela é importante na vida das pessoas tanto na esfera pessoal quanto na profissional. O total desconhecimento dessa ferramenta pode resultar em perdas financeiras. A primeira unidade deste livro-texto apresenta uma revisão de Matemática Elementar. Você irá rever conceitos tais como razão, proporção, regra de três simples, algumas propriedades dos logaritmos e das potências. O objetivo é facilitar a compreensão dos conteúdos que serão abordados nas próximas unidades, independentemente do grau de conhecimento matemático prévio do aluno. Na segunda unidade abordaremos o regime de juros simples. Nesse regime, o juro de qualquer período, ou de qualquer intervalo de tempo, é sempre constante e calculado sobre o capital inicial. Então, por exemplo, se você aplicar R$1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, pelo prazo de 3 meses, receberá R$1.300,00 (10% de R$1.000,00 são R$100,00. Como são 3 meses, temos R$100,00 x 3 = R$300,00) Nessa unidade conceituaremos capital, montante e taxas de juros, sempre tendo como base a definição de juros simples. 3 20 Na terceira unidade estudaremos o regime de juros compostos. Nesse regime, o juro de qualquer período é calculado sobre o capital inicial mais os juros recebidos no período anterior. Conceituaremos juro e montante para o regime de juros compostos, para períodos de tempo inteiros e não-inteiros. Trabalharemos as diferenças entre taxa proporcional, taxa equivalente e taxa nominal, e estudaremos os conceitos de equivalência financeira e de data focal. Na quarta unidade, abordaremos o conceito de descontos. O desconto é uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado da dívida. Estudaremos os dois modelos de descontos: o desconto racional, e o desconto comercial; para o regime de juros simples e para o regime composto. Na quinta unidade, estudaremos os conceitos envolvidos nas séries de pagamentos ou recebimentos. Trabalharemos com as séries do modelo básico e do modelo antecipado, com carência e sem carência, relacionadas com o valor presente e o valor futuro. Trabalharemos, também, com as séries do modelo genérico, que são as perpétuas, as variáveis e as séries com parcelas complementares. Na sexta unidade, estudaremos os principais sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos: o Sistema de Amortizações Constantes (SAC), o Sistema de Amortização Francês (SF) e o Sistema Price e, na sétima unidade, trataremos da análise de investimentos, utilizando o método do Valor Presente Líquido (VPL), da Taxa Interna de Retorno (TIR) e do Custo Anual Uniforme (CAU). 4 21 Unidade 1 Revisão de Matemática Elementar Unidade 1. Nesta unidade, faremos uma revisão de alguns conceitos de Matemática Elementar. É importante que você relembre alguns conceitos vistos ha muito tempo e que são relevantes para a compreensão dos conteúdos que serão abordados nas próximas unidades. 1.1 Razão A palavra razão, que vem do latim ratio e significa o quociente entre um numerador A por um denominador B, é denotada por: B A. Segundo o Quociente: divisão entre dois números. dicionário Razão: noção relacionada com a comparação de duas unidades por meio de uma divisão (IMENES; LELLIS, 1998, p. 267). Exemplo 1: 9 A razão de 9 para 12 = ou 09: 12; 12 5 A razão de 5 para 10 = ou 05:10; 10 Obs. Importante: 1) Lê-se: nove está para doze, sendo que o 1º número é chamado de antecedente, e o 2º, de consequente. Podemos, também, utilizar o conceito de razão para resolver problemas. Exemplo 2: Considere que em uma empresa qualquer trabalhem 100 homens e 25 mulheres. Qual a razão entre o número de homens e de mulheres? 5 22 100 Razão entre homens e mulheres = = 4 25 Isso quer dizer que existem quatro vezes mais homens do que mulheres. 1.2 Proporção Segundo Gimenes (2006), o conceito de proporção está diretamente ligado ao conceito de razão. É um pouco mais abrangente. Proporção é a relação multiplicativa entre duas grandezas. É a sentença matemática que exprime a igualdade entre duas razões, A C =. B D Sentença: conjunto de termos que se reúnem por sinais de operação. Expressão. Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Exemplo 3: 100 No exemplo anterior, tínhamos que a razão entre homens e mulheres era de. Isso 25 quer dizer que o número de homens é quatro vezes maior que o número de mulheres, ou, de maneira diferente, que há uma proporção de 1 mulher para cada 4 homens Propriedades das proporções: As proporções possuem várias propriedades A seguir citamos algumas delas apenas para exemplificar. Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º); Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 6 No contexto de matemática financeira, apenas a chamada propriedade fundamental será utilizada. A Propriedade Fundamental das proporções diz que em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. 23 Exemplo 4: Um determinado capital rendeu R$150,00 de juros em 3 meses. Quanto este capital renderia em 8 meses? Solução: R$ Tempo meses x 8 meses Transformando esta tabela em uma proporção, teremos: 150 : 3 = x : 8 Meios Ou, de outra 150 x = forma 3 8 Extremos multiplicação multiplicação x Logo: = 3 x = Aplicações das proporções Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas em nosso cotidiano, dentre as quais podemos destacar, por exemplo, a velocidade média e a escala. Velocidade Média A velocidade média é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo gasto (expresso em horas, minutos ou segundos). De maneira mais simplificada, é a variação de espaço, em média, por unidade de tempo. 7 24 Exemplo 5: Suponha que um carro leve 2 horas para percorrer a distância entre Taubaté e São Paulo, que é de 125 km. Qual é a velocidade média deste carro? Escala Distância percorrida 125km velocidade média = = tempo 2h 62,5km/ h Escala é a razão constante entre qualquer medida de um projeto (pode ser um desenho ou uma maquete: mapas, por exemplo, ou miniaturas de carros, maquetes de casas e prédios) e a medida correspondente no objeto real, ambas tomadas na mesma unidade de medida. Ou seja, a Escala é uma aplicação da razão entre duas grandezas de mesma espécie. Vamos ver no exemplo abaixo: escala = Tamanho do desenho em cm tamanho real em cm As empresas que fabricam miniaturas carrinhos, por exemplo utilizam a Escala para que as réplicas sejam perfeitas. Curiosidade: A Figura 1.1 mostra uma parte do Mini Mundo, parque temático brasileiro, localizado em Gramado, no Rio Grande do Sul. No parque existem cidades, carros, castelos e ferrovias em miniatura, com uma escala de 1:24, ou seja, as miniaturas são 24 vezes menor do que o tamanho real. No Mini Mundo, o sistema de transporte ferroviário dispõe de 11 locomotivas e 20 vagões, que passam por oito pontes, circulando pelos 456 metros lineares de trilhos. Lembrando que a escala em que a miniatura foi construída é 1:24 (1 para 24), qual seria, então, o comprimento real da estrada de ferro? 8 25 Chamando de x, o comprimento real da estrada de ferro e aplicando a fórmula de Escala (lembrando que 1 metro = 100 centímetros), temos: Figura 1.1: Mini Mundo Fonte: < Acesso em 10 dez Autor Fernanda Steffen Tamanho da miniatura Escala = tamanho real : 24 = ou x 1 = x Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos: 1 x = x = Logo, o comprimento real da estrada de ferro é de metros, ou de quase 11 km. 1.3 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Por exemplo, se uma grandeza dobra de valor a outra também dobra. Exemplo 5: Suponha que 1 Kg de carne custa R$12,00. Se uma pessoa comprar 2 Kg de carne pagará R$24,00, ou seja, duas vezes mais (o dobro do valor). 9 26 Duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Por exemplo, se uma grandeza dobra de valor a outra diminui pela metade. Exemplo 6: Velocidade e tempo. Um carro, para percorrer um total de 100 km, se estiver a uma velocidade de 100 Km/h, levará 1 hora. Se esse mesmo carro, para percorrer os mesmos 100 km, aumentar a velocidade para 200 km/h, gastará apenas meia hora, ou seja, se ele dobrar a velocidade, necessitará da metade do tempo. 1.4 Regra de três simples A maioria das pessoas não sabe, mas a regra de três simples é muito utilizada em várias situações de nosso dia a dia. Em Matemática Financeira, utilizaremos seu conceito no regime de juros simples. Equação: sentença matemática na qual aparece um sinal de igualdade e uma ou mais letras que representam números desconhecidos chamados de incógnitas ou variáveis. Definição: Tipo de equação usada em problemas de proporcionalidade. Envolve três números conhecidos e uma incógnita (IMENES; LELLIS, 1998, p. 272). A resolução desse tipo de problema é muito simples, e são necessários três passos: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas, e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e, utilizando a definição da propriedade fundamental das proporções, resolver a equação que surgirá. Exemplo 7: 10 27 Uma pessoa percorre 12 km em 2h. Mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ela percorrerá 36 km? Solução: Montemos uma tabela: Percurso (km) Tempo (h) x Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta, se diminuirmos o percurso o tempo gasto pelo atleta também diminuirá. Logo, devemos conservar a proporção: 12 2 = 36 x Multiplicando em cruz: 12 x = = x x = 6 Portanto, esta pessoa percorrerá 36 km em 6h. Exemplo 8: Quatro trabalhadores levam 8 dias para construir uma casa. Quanto tempo dois trabalhadores levariam para construir a mesma casa? Solução: Montando uma tabela, teremos: nº de trabalhadores Tempo (dias) x Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir a mesma 11 28 casa, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo gasto na a construção. Logo, para resolver o problema, devemos inverter a proporção. 4 x = 2 8 Multiplicando em cruzes: 2 x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores precisarão de 16 dias para construir a mesma casa. 1.5 Porcentagem A porcentagem também é um conteúdo de Matemática Elementar que é muito utilizado no nosso dia a dia, você já reparou nisso? Ela aparece na televisão quando falamos da alta ou da baixa da bolsa de valores, aparece nas vitrines das lojas para apresentar o valor dos descontos das promoções ou a quantidade de juros que elas estão cobrando, aparece, também, sempre que atrasamos uma conta e necessitamos pagar juros. Viu só quantos exemplos? Definição: Porcentagem (ou percentagem) é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo %, e lê-se: por cento (GIMENES, 2006). 20 Assim, a fração é uma porcentagem que pode ser representada como 20%. 100 Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente, no nosso dia a dia. Exemplo 9: Uma loja lança uma promoção de 10% de desconto no preço dos seus produtos para pagamento à vista. Se uma calça jeans custa R$150,00, qual seria seu preço, se optássemos por comprá-la à vista? 12 29 Solução: O desconto seria de 10% do valor de R$150,00. Logo: % de R$150,00 = 150 ou, de outra maneira, 0, = Portanto, os 10% de desconto representam R$15,00. Se optarmos por pagar à vista esse valor será descontado do original, ou seja, valor à vista = R$150,00 - R$15,00 = R$135,00 Passaremos a pagar, com o pagamento à vista, R$135, Potenciação As potências surgiram com o objetivo de simplificar os cálculos com números muito grandes. Em nossa disciplina será utilizada para simplificar os cálculos de juros compostos. Definição: Potenciação é a operação em que, dados uma base e um expoente, se calcula uma potência (GIMENES, 2006, p. 8). Potência: é o produto de fatores iguais. É o resultado da potenciação. Onde a é chamado de base, e n, de expoente Propriedades das potências A disciplina de Matemática Financeira utiliza, principalmente, a potenciação no desenvolvimento de seus cálculos, e esta, por sua vez, utiliza diversas propriedades para simplificar seus cálculos. A seguir são apresentadas algumas delas: 13 30 n 1 x = para qualquer número real e x 0 n x x x a a x b x b = x = x a b a b ( x ) = x a+ b a b n n n ( ) a b = a b n n n ( ) a b = a b No regime de juros compostos uma determinada taxa de juros incide sobre ela mesma diversas vezes, e é o calculo com potenciação que faz com este cálculo se torne mais simples. Exemplo 10: Imagine uma dívida que cresce 2% ao mês, no regime de juros compostos, depois de doze meses, ela terá crescido 26,82% e não apenas 24%. Solução: 12 ( 1+ 0,02) ( 1+ 0,02) = ( 1+ 0,02) = 1,2682 isso significa que a taxa cresceu 26,82% 12 vezes 1.7 Radiciação Radiciação é a operação em que, dados o radicando e o índice, se calcula a raiz (IMENES; LELLIS, 1998, p. 265). Uma raiz pode ser quadrada, cúbica, quarta, dentre outras. O tipo de raiz está sempre indicado no índice. Uma raiz é simbolizada pelo radical, e o número do qual se deve extrair a raiz é denominado radicando (GIMENES, 2006). índice a radical x radicando É válido lembrar, também, que: b a b x = xa 14 31 Exemplo 11: 1) = 2 ou 2 = 8 2) 16 = 4 ou 4 2 = 16 OBS: Normalmente, quando estamos trabalhando com raiz quadrada, o índice é omitido da representação. Nos outros casos ele é expresso normalmente. 1.8 Logaritmos Os logaritmos também são uma ferramenta útil para a matemática financeira. Assim como a potência surgiram com o objetivo de simplificar alguns cálculos. Apresentam algumas propriedades, que são válidas para qualquer modelo de logaritmos e em qualquer base, e que ajudarão a simplificar alguns cálculos financeiros. A notação algébrica do logaritmo é: é o logaritmo. Para qualquer número real, x > 0; a > Propriedades dos logaritmos log x = b. Onde a é a base, x é o logaritmando e b a Apenas algumas propriedades dos logaritmos serão utilizadas durante o desenvolvimento do conteúdo de matemática financeira. Nós não trabalharemos aqui com seu conceito ou com seus cálculos. A seguir apresentamos algumas propriedades: log ( a b) = log a + log b log ( a b) = log a log b log a b = b log a Exemplo 12: Suponha que você fez um depósito no valor de R$8.500,00 a juros de 1,5% ao mês. Essa aplicação gerou um montante de R$9.864,60. Quanto tempo esse capital ficou aplicado considerando a equação de resolução abaixo? 15 32 9864,60 = ( 1 0,015 ) t Solução: 9864, 60 = ( 1+ 0, 015) t ( ) t 1, = +, ( ) t log 1, = log +, ( ) 0, = t log +, Continuando: 0, = t 0, , = t 0, t = 10 meses 1.9 Síntese da unidade Nesta Unidade realizamos uma revisão de alguns conceitos da matemática elementar. O objetivo desta revisão foi o de facilitar a compreensão de determinados conteúdos que serão trabalhados nas próximas Unidades, independentemente de qual seja o grau de conhecimento matemático prévio do aluno Para saber mais É um portal educativo com material para o ensino fundamental e médio, provas de vestibular e história da matemática, além de biografias de matemáticos, trabalhos de alunos, provas online, um grande acervo de softwares matemáticos, artigos, jogos, curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. É um portal educativo com material de matemática do Ensino Fundamental e Médio, com questões de vestibular, artigos e cursos online. Site em que é possível realizar uma pesquisa escolar sobre diversos assuntos de matemática do Ensino Fundamental e do Médio. Conta com várias fontes bibliográficas e artigos. 16 33 1.11 Atividades 1. Se 15 operários levam 10 dias para completar certo trabalho, quantos operários serão necessários para realizar esse mesmo trabalho em 6 dias? Fonte:< -br/clipart/download.aspx>. Acesso em 1 dez Resposta: 25 operários 2. Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo serão necessários para fabricar 162,5 kg de farinha? Resposta: 250 kg 3. Pedro comprou 2 metros de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários para que ele pudesse fazer 7 calças iguais a essa primeira? Resposta: 14m 4. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu reais. Quantos dias deverá trabalhar, para receber reais? Resposta: 40 dias 5. O comprimento da miniatura de um carro de Fórmula 1 é 14 cm. A escala em que a miniatura foi construída é 1:32. Qual seria, então, o comprimento real do carro? Resposta: 448 cm ou 4,48 metros 6. Qual seria a escala, sabendo-se que a distância entre dois pontos em um mapa é de 5 cm, o que representa uma distância real de 15 km? Resposta: escala de 1 : 34 18 35 Unidade 2 Juros Simples Unidade 2. Segundo Mathias e Gomes (2004), o problema econômico decorre da escassez, da falta de bens, ou seja, do fato de que as necessidades das pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. Mathias e Gomes (2004) observam, ainda, que, ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer essas necessidades das pessoas foi solucionado por meio da especialização e do processo de troca de um bem por outro. Com o passar do tempo, surgiu a moeda e, assim, o preço passou a ser o denominador comum de medida para o valor dos bens, e a moeda, um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital. Abstinência: absterse, privar-se de alguma coisa. Escassez: representa a insuficiência de bens para satisfazer os desejos ilimitados das pessoas. Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro. A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para que não haja consumo é o juro (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 19). Nesta Unidade estudaremos o regime de Juros Simples. Nesse regime, o juro de qualquer período, de qualquer intervalo de tempo, é constante e sempre é calculado sobre o capital inicial. Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. Consequentemente, o capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo (SAMANEZ, 2007, p. 2). Segundo Assaf Neto (2003), o regime de Juros Simples tem aplicações práticas bastante limitadas. São poucas as operações financeiras que o utilizam. O seu uso restringe-se principalmente às operações de curto prazo. Quando entramos no cheque especial só por alguns dias, por exemplo. É importante ressaltar, porém, que muitas taxas praticadas no 19 36 mercado financeiro, nacional e internacional, estão referenciadas em juros simples (é o caso da Caderneta de Poupança), mas a formação dos montantes processa-se de maneira exponencial, ou seja, os juros geram juros também. 2.1 Juro Segundo Castelo Branco (2005), o juro: [...] é a remuneração obtida a partir do Capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: De quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo ou prejuízo; De quem recebe: podemos entender como sendo o rendimento, receita financeira ou ganho (CASTELO BRANCO, 2005, p. 11). Segundo Assaf Neto (2003, p. 15), as taxas de juros devem ser eficientes, de maneira a remunerar: a) O risco envolvido na operação. O risco nada mais é do que a probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. É a incerteza com relação ao futuro. b) A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo. c) O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro ao proprietário do capital, como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Custo de oportunidade. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro e ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato. Em outras palavras, havendo uma preferência pelo consumo, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência (MATHIAS; GOMES, 2004). 2.2 Taxa de juro 20 O juro é determinado por um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital 37 utilizado durante certo período de tempo (ASSAF NETO, 2003, p. 16). A taxa de juros pode ser entendida, também, como a razão entre os juros recebidos ao final de certo período de tempo e o capital inicialmente investido. A taxa de juros é a remuneração recebida pelo capital investido, ou paga pelo empréstimo contraído (PILÃO, 2002, p. 14). Exemplo 1: Se a taxa for de 12% ao ano, isso significa que, se empregarmos um certo capital àquela taxa, por um ano, obteremos 12% do capital. Solução: Se aplicarmos R$100,00 a 12% ao ano por um ano, receberemos, ao final do período, 12% a mais do que o valor que foi investido, ou seja, R$112,00. As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (mês, ano, semestre, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas formas: taxa percentual e taxa unitária. Taxa Percentual: Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. Taxa Unitária: Neste caso, a taxa diz-se aplicada à unidade do capital, ou seja, calculamos o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa. O mercado financeiro trabalha com as taxas de juros na forma percentual; porém, para efetuarmos os cálculos, é necessário colocar a taxa na forma unitária (SAMANEZ, 2007). A transformação da taxa percentual em unitária é feita simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100. O quadro 1, abaixo, mostra alguns exemplos de taxas de juros na forma percentual e seu equivalente na forma unitária. 21 38 Quadro1: Exemplos de transformação de taxas Taxa Percentual Taxa Unitária 1,5% 0,015 8% 0,08 17% 0,17 86% 0,86 120% 1, % 15,0 Importante: Nas equações de matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros (ASSAF NETO, 2003). 2.3 Simbologia utilizada e Conceitos fundamentais Para a montagem e resolução dos exemplos e para maior facilidade de comunicação, a matemática financeira se vale de diversos símbolos. Os símbolos que serão utilizados aqui não são os únicos existentes na literatura, mas sua escolha se deve ao fato de serem mais próximos, mais similares aos termos que utilizaremos, ou os mais comuns. ( i ) Representará uma taxa de juros para determinado período de tempo. ( n ) Representará o número de períodos, tempo ou prazo, em que determinada importância monetária estará sujeita a determinada taxa de juros. Um período representará qualquer unidade de tempo preestabelecida dia, mês, ano, bimestre. Nas equações de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros deverão necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo (ASSAF NETO, 2003). ( C ) Representará o principal, o capital, o valor presente. É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira (CASTELO BRANCO, 2005, p 11). Data focal zero: data de início de operação financeira. 22 ( M ) Representará o valor do capital mais os juros, ou o montante, ou o valor futuro, correspondentes a uma importância de dinheiro capitalizada após n períodos de tempo. 39 ( J ) Representará o valor do juro, do custo ou do rendimento recebido por um determinado capital após n períodos de tempo. 2.4 Diagramas de capital no tempo (Fluxos de Caixa) Definimos fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo (CASTELO BRANCO, 2005, p 13). A matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos de tempo. Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de matemática financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital (ASSAF NETO, 2003, p 17). Existem várias maneiras diferentes de se representar um fluxo de caixa e, em todas elas, a reta horizontal representa uma escala de tempo (dias, meses, bimestres, anos). O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo. As flechas indicam as entradas e/ou as saídas de dinheiro. As flechas positivas (para cima) representam entradas de dinheiro, e as flechas negativas (para baixo) representam saídas de dinheiro (ASSAF NETO, 2003). A Figura 2.1 representa uma das várias formas de fluxo de caixa Figura 2.1: Representação de um fluxo de caixa É importante enfatizar que, apesar de ajudar a visualizar o que está acontecendo dentro de um problema específico, a representação do diagrama de capital no tempo depende do ponto de vista. 23 40 Exemplo 2: Uma pessoa toma emprestada a quantia de R$500,00 pelo prazo de 1 ano e à taxa de 10% ao ano. Qual será o valor a ser pago como montante? A Figura 2.2 representa as duas possibilidades que existem para visualização do fluxo de caixa. Na primeira, o fluxo representa o ponto de vista da pessoa que recebeu o empréstimo e, na segunda, o ponto de vista de quem forneceu o empréstimo Figura 2.2: Visualização do fluxo de caixa 2.5 Cálculo dos juros (J) No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o valor do capital inicial, [...] sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação (GUERRA, 2001, p 42). Nesse regime, a remuneração, ou o rendimento, pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. E esse fator de proporcionalidade é a taxa (MATHIAS; GOMES, 2004). A equação para o cálculo dos juros no regime de juros simples é: J = C i n Nunca se deve esquecer que, nas equações de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Não se pode esquecer, também, que a taxa de juros deve estar na forma unitária, na hora do cálculo. 24 41 Exemplo 3: Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante três meses. Calcule o valor dos juros acumulados durante esse período. Solução: C = i = 2,5% ao mês = 0,025 n = 3 meses J =?? J = C i n J= ,025 3 J = R$6.000 Exemplo 4: Uma aplicação de R$ ,00, rendendo a uma taxa de juros de 1,8% ao mês, produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. Solução: C = i = 1,8%ao mês = 0,018 J = n =?? J = C i n = ,018 n = n n = n = 6 meses 2.6 Cálculo do montante (M) Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros (ASSAF NETO, 2003, p. 25). No entanto, sabemos que: J = C i n M = C + J 25 42 Substituindo uma equação pela outra, temos: Colocando o C em evidência: M = C + C i n M = C(1 + i n) Exemplo 5: Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5 % ao mês durante 8 meses. Determine o valor acumulado ao final desse período. Solução: C = i = 1,5%ao mês = 0,015 n = 8 meses M =?? M = C(1 + i n) M = (1 + 0,015 8) M = (1 + 0,12) M = (1,12) M = R$ Exemplo 6: Uma dívida de R$ ,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês, caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagará, caso antecipe a liquidação da dívida. Solução: M = i = 7%ao mês = 0,07 n = 4 meses C =?? M = C(1 + i n) = C (1 + 0,07 4) = C 1, C = C = R$ ,28 26 43 2.7 Taxa equivalente (i q ) e Taxa proporcional Para entendermos melhor o significado dessas duas taxas, é preciso ficar claro que toda operação envolve dois prazos: o prazo a que se refere a taxa de juros e o prazo de ocorrência dos juros (ASSAF NETO, 2003). Admita-se, por exemplo, que um empréstimo foi realizado a uma taxa nominal de 6% ao ano (que é o caso da Caderneta de Poupança). O prazo a que se refere a taxa de juros é anual. A seguir, é preciso que se identifique qual é a periodicidade da ocorrência dos juros. Se estabelecermos que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados serão coincidentes. Entretanto, se estabelecermos que os encargos incidirão sobre o principal ao final de cada mês (que é o que ocorre na Caderneta de Poupança), teremos dois prazos diferentes. Em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período da capitalização. Faz-se necessário o uso de fórmulas de matemática financeira para expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros (ASSAF NETO, 2003, p. 27). No regime de juros simples, devido a sua definição, a transformação da unidade da taxa para a mesma unidade do prazo é feita pela chamada taxa proporcional de juros. Ou seja, para obter a taxa proporcional de juros, devemos realizar a divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (ASSAF NETO, 2003). Incidir: cair sobre, recair. Por exemplo, considere-se a taxa de juros de 6% ao ano. Se a ocorrência de juros for definida como mensal, significa que ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano. Para sabermos o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês, será preciso encontrar a taxa proporcional de juros mensal, ou seja, realizar o seguinte cálculo: 6% Taxa Proporcional = = 0,5% ao mês 12 27 44 A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária, etc (ASSAF NETO, 2003, p ). Duas, ou mais taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo valor linear de juros (MATHIAS; GOMES, 2004). Exemplo 7: Um capital de R$ ,00, aplicado a 3% ao mês, ou a 18% ao semestre, pelo prazo de um ano, produzirá o mesmo montante linear de juros. Isto é: Juro1 (3% ao mês) = ,00 0,03 12 = ,00 Juro2 (18% ao semestre) = ,00 0,18 2 = ,00 Os juros produzidos pelas duas taxas de juros, 3% ao mês e 18% ao semestre, são iguais, portanto, são definidas como taxas equivalentes. Para o regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente classificar duas taxas de juros como equivalentes ou proporcionais (MATHIAS; GOMES, 2004). Para entender melhor como é feito o cálculo para encontrar taxas equivalentes e saber quando haverá a necessidade de sua utilização, seguem alguns exemplos. Exemplo 8: Determinada pessoa tem uma dívida no valor de R$ ,00, a vencer dentro de um ano, mas resolve saldá-la 3 meses antes da data de vencimento. Para a sua quitação antecipada, o credor concedeu um desconto de 12% ao ano. Qual o valor da dívida a ser pago antecipadamente? Quitar: pagar integralmente o que se deve; saldar uma dívida. 28 Solução: M = Como a unidade da taxa e a unidade do prazo são diferentes, é preciso, primeiro, encontrar a taxa equivalente 45 i = 12%ao ano = 0,12 n = 3 meses C =?? à unidade do prazo, antes de iniciar a resolução do problema. Portanto: 12 % i = 12 i = 1% ao mês i = 0,01 ou 1% ao mês Só depois de encontrarmos a taxa equivalente poderemos resolver o problema. M = C(1 + i n) = C (1 + 0,01 3) = C 1, C = C = R$24.271,84 1, Períodos não-inteiros Quando resolvemos um problema, é normal supor que o juro e o principal são devidos apenas no final do prazo da aplicação. Porém, podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação (n) não é um número inteiro de períodos, se comparado ao período da taxa dada, sendo necessário, assim, considerar frações de períodos, para que não se cometa erro no valor final (MATHIAS; GOMES, 2004). Por exemplo, se compararmos 6 meses com um período de 1 ano, teremos que ele equivale a 0,5 ano (metade de um ano), ou seja, não é um período inteiro. Em casos como esse, é necessário fazer a transformação do período de tempo para o mesmo da taxa dada. Ou vice-versa. Exemplo 9: Determinar o principal que produz um montante de R$32.000,00, quando sujeito a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês após 45 dias de aplicação. Solução: M = i = 1,5% ao mês = 0,015 M = C(1 + i n) = C (1 + 0,015 1,5) 29 46 n = 45 dias = 1,5 meses C =?? = C 1, C = C = R$31.295,845 1, Juro exato, Juro comercial e Juro bancário É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias (ASSAF NETO, 2003, p 30), embora as taxas sejam expressas em termos anuais. Nesses problemas é indiferente transformar o prazo ou transformar as taxas. É preciso ficar atento apenas para o fato de que o número de dias pode ser calculado de duas formas diferentes. Ano exato: utiliza-se efetivamente o calendário do ano civil. Devemos considerar a quantidade de dias existentes em cada mês (CASTELO BRANCO, 2005, p. 23). Dessa forma, podemos ter um ano com 365 ou 366 dias. Ano comercial: admite que todos os meses possuem 30 dias e que o ano possui 360 dias. No cálculo dos dias entre datas, o primeiro dia da aplicação é incluído na contagem e o último, que corresponde à data de resgate, é excluído (ZENTGRAF, p. 47). Lembre-se: A taxa normalmente está expressa ao ano, e o prazo, em dias; por isso, há necessidade de se fazer a transformação das unidades Juro exato ( J e ) Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) é calculado adotando-se como base o ano civil. C. i. n J e = Exemplo 10: 47 Determinar o juro exato gerado pelo capital de R$ ,00, aplicado à taxa simples de 12 % a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias. Solução: C = i = 12% ao ano = 0,12 n = 3 meses e 15 dias J e =? C. i. n J e = 365 J e , = 365 J e = R$345, Juro comercial ( J c ) Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando adotamos como base o ano comercial. C. i. n J c = 360 Exemplo 11: Determinar o juro comercial ou ordinário gerado pelo capital de R$ ,00, aplicado à taxa simples de 12 % a.a. e pelo prazo de 3 meses e 15 dias. Solução C = i = 12% ao ano = 0,12 n = 3 meses e 15 dias J c =? C. i. n J c = 360 J c , = 360 J c = R$ Juro bancário ( J b ) Nesse modelo, a contagem do prazo (número de dias), ou tempo (n), faze feita pelo calendário do ano civil (juro exato), mas o valor do juro diário é calculado utilizando-se o conceito do ano comercial (juro comercial). 31 48 Exemplo 12: Uma dívida de R$2.500,00 deveria ter sido paga no dia 10/02/2008, mas, devido a alguns problemas, só foi quitada no dia 17/08/2008. Considerando uma taxa de juros simples de 15% ao ano, calcule o juro bancário. Solução C = i = 15% ao ano = 0,15 n = 189 dias J b =? C. i. n J b = 360 J b , = 360 J b = R$196, Equivalência financeira Dizemos que dois ou mais capitais representativos de uma certa data são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data (chamada data focal), a uma certa taxa de juros. Ou seja, é indiferente, em termos financeiros, receber um ou outro valor (MATHIAS; GOMES, 2004). Exemplo 13: Determinar se a quantia de R$ ,00, vencível daqui a 8 meses, é equivalente a se receber, hoje, R$ ,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês. Solução: Existem duas possibilidades para a solução. M = C(1 + i n) = C (1 + 0,06 8) = C 1, C = C = ,48 M = C(1 + i n) M = (1 + 0,06 8) M = R$ Com os números encontrados, podemos concluir que os valores dados são equivalentes 32 49 É importante destacar que, no regime de juros simples, se mudarmos a data focal, a equivalência desses capitais não será mantida Síntese da Unidade Nesta Unidade, estudamos o regime de juros simples. Vimos que, na capitalização simples, o juro de qualquer período, ou de qualquer intervalo de tempo, é constante e sempre é calculado sobre o capital inicial. Nesse regime, os juros de um determinado período não são incorporados ao principal, para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. O capital cresce de forma linear em relação ao tempo Para saber mais Livro Robinson Crusoé: Clássico de aventura do XVIII. A edição original é de Robinson Crusoé era filho de um comerciante. Contra a vontade paterna, partiu em busca de fortuna em viagens marítimas. Durante uma expedição à África, para adquirir escravos, ocorreu o naufrágio. Todos os tripulantes do navio morreram, exceto Crusoé, que viveu 28 anos numa ilha deserta. Na luta pela sobrevivência, o personagem fabrica instrumentos de caça, aprende a domesticar animais e a plantar, tornando-se evidente, no texto, os degraus da atividade econômica e a ascensão do individualismo na sociedade moderna. Sites É um portal educativo com material para o Ensino Fundamental e Médio, provas de vestibular e história da matemática e história da matemática financeira, além de biografias de matemáticos, trabalhos de alunos, provas online, um grande acervo de softwares matemáticos, artigos, jogos, curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. site que contém diversas apostilas para download com os assuntos que serão trabalhados em Matemática Financeira. 33 50 2.13 Atividades 1. Determine qual será o rendimento de um capital de R$5.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante 13 meses. Resposta: R$1.300,00 2. Um capital de R$15.000,00 foi aplicado durante 19 meses. Se essa aplicação rendeu R$ 3.750,00, qual foi a taxa anual de juros recebida? Fonte:< m/pt-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em 01 dez Resposta: 15,79% ao ano 3. Determinado capital ficou aplicado em uma instituição financeira durante 795 dias. Se nesse período, a uma taxa de juros de 3,5 % ao mês, gerou-se um montante de R$84.520,00, qual o valor desse capital? Resposta: R$43.849,55 4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 30% ao ano durante 15 meses? Resposta: R$20.863,64 5. Qual o valor total que deverá ser pago, ao final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$12.500,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 15% ao semestre? Resposta: R$14.250,00 6. Em quanto tempo um capital de R$14.000,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$24.990,00? Resposta: 785 dias 34 51 Unidade 3. Juros Unidade 3 Compostos Na Unidade anterior vimos que o regime de juros simples é caracterizado pelo fato de apenas o capital inicial render juros e, devido a isso, o valor dos juros é diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Nesta Unidade estudaremos o regime de juros compostos. Como, na prática, as empresas, os órgãos governamentais, as lojas e os investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras (ou seja, os juros gerados em um período irão gerar juros nos períodos seguintes, característica que define o regime de Juros Compostos); estudar o conceito de juros compostos torna-se muito importante. No regime de juros compostos, os juros gerados pela aplicação serão incorporados à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte (MATHIAS; GOMES, 2004). Fonte:< m/pt-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em: 1 dez Ou seja, o rendimento que foi gerado pela aplicação será incorporado a ela e passará a participar da geração dos juros no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. É devido isso, também, que algumas pessoas o chamam de regime de juros sobre juros. Nesse regime, o capital cresce mais rapidamente. Aqui o capital cresce exponencialmente ao longo do tempo, enquanto no regime de juros simples o capital cresce linearmente (ASSAF NETO, 2003). Incorporado: somado, adicionado. Capitalizar: Incorporar os juros ao capital empregado para que produzam renda. 35 52 3.1 Diferença entre os regimes de capitalização A diferença que existe entre um regime e outro é mais facilmente visualizada por meio de um exemplo. Exemplo 1: Seja um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, por um período de 3 anos a juros simples e compostos. Calcule o valor do Montante recebido. Juros Simples Juros Compostos n Cálculo do juro Montante Cálculo do juro Montante ,10 = ,10 = ,10 = ,10 = ,10 = ,10 = O exemplo oferece uma comparação visual entre os montantes dos dois regimes e, com ele, é possível perceber mais facilmente que o dinheiro cresce de forma mais rápida no regime de juros compostos do que no regime de juros simples. 3.2 Cálculo do montante (M) No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente (ASSAF NETO, 2003, p. 43). Para desenvolver melhor o conceito de juros compostos e desenvolver a equação para o cálculo do montante, vamos refazer o exemplo anterior de forma mais detalhada. Então, seja um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, por um período de 3 anos a juros compostos. Calcule o valor do montante recebido. 36 Os dados do problema são: Capital inicial aplicado (C) = R$1.000,00 Taxa de juros considerada (i) =10% ao ano Prazo (n) = 3 anos Montante (M) =??. Com esses dados temos os seguintes resultados, ao final de cada período: 53 Para o final do primeiro ano: Juros = ,10 1 = 100 Montante (M) = = (lembre-se de que o montante é o capital mais os juros) M = C + C i ou M = C (1 + i) Para o final do segundo ano: Juros = ,10 = 110 (o montante do período anterior passa a ser o capital, servindo, assim, de base para o cálculo dos juros deste período) Montante (M) = = M = C(1 + i) + C (1 + i) i ou M = C( 1+ i) 2 Para o final do terceiro ano: Juros = ,10 = 121 (utilizamos o mesmo raciocínio do período anterior) Montante (M) = = M = C( 1+ i) 3 Portanto, o valor do montante, ao final do terceiro ano, é de R$1.331,00. Observe-se que o montante no final de cada ano é o capital inicial utilizado no ano seguinte. Generalizando uma equação para o cálculo do montante ao final de n períodos de tempo e à taxa de juros i, teremos: ( i) n M = C 1 + Nessa equação, da mesma forma que ocorria no sistema de juros simples, a taxa de juros (i) deve estar na forma unitária e na mesma unidade de tempo que será utilizada para o período de tempo (n). Exemplo 2: Você fez um empréstimo de R$5.700,00 a juros de 3,5% ao mês pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante que você deverá devolver? Solução: C = i = 3,5% ao mês = 0,035 n = 10 meses M =? ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,035) 10 M = , M = R$8.040,41 37 54 Exemplo 3: Determinar o montante, ao final de 15 meses, resultante de uma aplicação de um capital de R$17.000,00 à taxa de juros compostos de 3,75% ao mês. Solução: C = i = 3,75% ao mês n = 15 meses M =? ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,0375) 15 M = , M = R$29.530, Cálculo do juro (J) Fonte:< Acesso em: 1 de dez Vimos, na Unidade anterior, que o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros. Essa informação pode ser interpretada, também, de uma maneira um pouco diferente: o juro é a diferença entre o montante recebido e o capital aplicado. M = C + J ou J = M C Como sabemos que ( ) n Temos que: M = C 1 + i J n = C [( 1+ i) 1] 38 55 Exemplo 4: Qual o valor dos juros pagos no caso de um empréstimo de R$14.800,00 à taxa de juros compostos de 5,5% ao mês e pelo prazo de 2 anos e 5 meses? Solução: C = i = 5,5% ao mês = 0,055 n = 2 anos e 5 meses = 29 meses J =? Como o valor dos juros também pode ser visto como a diferença entre montante e o valor aplicado, podemos calcular o valor dos juros utilizando a mesma equação que utilizamos para o cálculo do montante. Para o exemplo acima teríamos: Exemplo 5: Qual o valor dos juros pagos no caso de um empréstimo de R$14.800,00 à taxa de juros compostos de 5,5% ao mês e pelo prazo de 2 anos e 5 meses? Solução: C = i = 5,5% ao mês = 0,055 n = 2 anos e 5 meses = 29 meses J =? n J = C[( 1+ i) 1] J = [(1 + 0,055) J = , J = ,04 ( i) n M = C 1 + M = (1 + 0,055) M = , Como J M = ,04 29 = M C, temos: J = , J = R$55.117, ] 3.4 Taxas equivalentes (i q ) A definição de taxas equivalentes diz que duas taxas de juros se dizem equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. Ou, de outra forma, considerando-se um mesmo capital aplicado por um intervalo de tempo comum a cada uma das taxas, ambas produzirão um mesmo montante, se forem equivalentes (MATHIAS; GOMES, 2004). Ambas: Uma e outra, as duas. 39 56 Exemplo 6: Considere um capital de R$2.500,00 aplicado pelo prazo de um ano. Se o capital for aplicado à taxa de 42,5761% ao ano, ou à taxa de 3% ao mês, qual será o montante recebido? Solução: C = i 1 = 42,5761% ao ano i 2 = 3% ao mês n = 1 ano ou 12 meses M =? ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,425761) 1 M= , M = R$2.814,40 ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,03) 12 M = , M = R$2.814,40 Como montante recebido será o mesmo para as duas taxas, dizemos que elas são equivalentes. Toda taxa de juros com que trabalhamos possui uma determinada unidade de tempo ou um determinado prazo. Entretanto, essa unidade, ou esse prazo, [...] pode ser convertida pra outra unidade de tempo qualquer sem alterar seu valor intrínseco, o que viabiliza o cálculo dos juros em operações e facilita comparações entre taxas de juros (SAMANEZ, 2007, p.45). Segundo Assaf Neto (2003), no regime de juros simples a taxa equivalente era a própria taxa proporcional da operação, porém isso não acontece no regime de juros compostos. Por se tratar de uma capitalização exponencial, a expressão da taxa de juros equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro. De uma maneira mais simples: ao passarmos de uma unidade de tempo menor para uma maior, como de mês para ano, devemos elevar (calcular uma potência) a taxa de juros pelo número de capitalizações que ocorrerão no período correspondente. Se for o contrário, de uma unidade de tempo maior para uma menor, por exemplo, de ano para mês, devemos elevar ao inverso do número de capitalizações que ocorrerão no período, ou seja, extrair uma raiz. 40 ( 1 + i) q 1 i q = ou i q 1+ i 1 = q 57 Exemplo 7: Calcular a taxa equivalente anual à taxa de 1% ao mês. Solução: i = 1% ao mês i q =? ao ano q = 12 (um ano tem 12 meses) Devemos passar a taxa de uma unidade de tempo menor para uma maior, logo: i q i q = = ( 1 + i) q 1 ( 1 + 0,01) 12 1 i q = 0,1268 ou i q = 12,68% ao ano Exemplo 8: Calcular a taxa equivalente mensal à taxa de 12% ao ano. Solução: i = 12% ao ano i q =? ao quadrimestre q = 3 (um ano tem 3 quadrimestres) Devemos passar a taxa de uma unidade de tempo maior para uma menor; logo: i q i q = q 1+ i 1 = ,12 1 i q = 0,0385 ou i q = 3,85% a.q. Mas como a taxa equivalente se apresentará em um problema? Essa questão é respondida com exemplo que segue: Exemplo 9: Calcular o montante produzido por um capital igual a R$10.000,00, aplicado a uma taxa de 24% ao ano, durante 4 anos e 2 meses. Solução: C = i = 24% ao ano n = 4 anos e 2 meses = 50 meses M =? Como a taxa de juros é anual e o prazo é mensal, é preciso encontrar, primeiro, a taxa equivalente: i q = q 1+ i 1 i q = ,24 1 i q = 0,0181 ou 1,81% ao mês ( i) n M = C 58 M = ( 1 0,0181) 50 M= , M = R$24.520, Períodos não-inteiros Do mesmo modo que já foi visto em juros simples, poderemos encontrar em determinados problemas o caso em que o prazo de aplicação não seja um número inteiro de períodos, se comparado à unidade de tempo da taxa considerada. Isso decorre do fato de que os juros supõem-se formados apenas no fim de cada período de capitalização, ou seja, estamos considerando capitalizações descontínuas. Devemos, entretanto, considerar hipóteses adicionais para resolver os problemas (MATHIAS; GOMES, 2004) Convenção linear A convenção linear é aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa proporcional de juros, ou seja, o critério de juros simples. Pode ser feita em duas etapas: 1ª etapa: Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos, utilizando-se a definição de montante para juros compostos. 2ª etapa: Calcula-se o montante correspondente à parte não-inteira de períodos, aplicando-se a definição de montante para juros simples. Os juros simples são calculados sobre o montante obtido na primeira etapa. 42 Exemplo 10: Um capital de R$12.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 9% a.a. por 4 anos e 3 meses. Tendo por base a capitalização anual e utilizando a convenção linear, ao término desse período o montante será igual a quanto? Solução: C = 59 i = 9% ao ano = 0,09 (com capitalização anual) n = 4 anos e 3 meses = 4, 25 anos n = 4 anos parte inteira n = 0,25 anos parte não inteira M =? 1ª etapa: ( i) n M = C 1 + M = ( 1+ 0,09) 4 M= , M = ,98 2ª etapa: M = C(1 + i n) M = ,98 (1 + 0,09 0,25) M = R$17.320, Convenção exponencial Nesta modalidade, os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa equivalente. Procede-se, também, a duas etapas: 1ª etapa: Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos, aplicando-se a definição de montante para juros compostos. 2ª etapa: Na fração de tempo não-inteira restante, admite-se uma formação exponencial de juros. Ou seja, o montante obtido na primeira etapa passa a gerar juros compostos na fração não-inteira restante. Nestas condições, os juros devidos na fração de período serão obtidos multiplicando-se o montante obtido na primeira etapa pela taxa de juros compostos equivalente correspondentes ao período não-inteiro (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 109). Exemplo 11: Para um capital de R$25.000,00, aplicado durante 77 dias a juros de 5% ao mês, capitalizados mensalmente, calcular o montante utilizando a convenção exponencial. Solução: C = i = 5% ao mês = 0,05 (com capitalização mensal) n = 77dias = 2, 5667 meses 43 60 n = 2 meses parte inteira n = 0,5667 meses parte não inteira M =? 1ª etapa: ( i) n M = C 1 + 2ª etapa: ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,05) 2 M = ,50 + ( 1 0,05) 0, 5667 M= ,1025 M = R$27.562,50 M= ,50 1, M = R$28.335, Taxa efetiva e Taxa nominal Quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa Exemplos de taxas nominais: Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 111). 6% ao ano capitalizada mensalmente (Caderneta de poupança) 5% ao mês capitalizada diariamente Nos exemplos acima é possível perceber que o prazo de formação dos juros é diferente do prazo de incorporação dos juros. Nos problemas, a taxa aparecerá da seguinte forma: Exemplo 12: Um banco faz empréstimos à taxa de 6% ao ano, mas adotando a capitalização mensal dos juros. Qual será o juro pago por um empréstimo de R$15.000,00, feito por 2 anos? Solução: 44 C = i = 6% ao ano = 0,5% ao mês (capitalização mensal = taxa proporcional) n = 2 anos = 24 meses J =? 61 J n = C[( 1+ i) 1] J = [(1 + 0,005) 24 1] J = , J = 1.907,40 Ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização (ASSAF NETO, 2003, p. 52). i f i k = k Onde k representa o número de capitalizações no período. Exemplo 13: Um empréstimo no valor de R$25.000,00 foi realizado pelo prazo de um ano à taxa nominal de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual será o montante pago por esse empréstimo? E o custo efetivo? Solução: C = i = 32% ao ano = 8% ao trimestre (capitalização trimestral, k = 4 capitalizações no ano) n = 1 ano = 4 trimestres M =? i f =? ( i) n M = C 1 + Cálculo do Montante: M = ( 1 0,08) 4 M= , 62 i M = R$34.012,22 Custo Efetivo: f i k = k i f i f 0,32 = = 36,05% ao ano Equivalência de capitais no regime composto Segundo Mathias e Gomes (2004), é freqüente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes é necessário substituir um título por outro ou por vários outros, ou, ao contrário, substituir vários títulos por um único. Esses problemas dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. É importante lembrar que essas comparações serão feitas utilizando-se o critério de juros compostos. Títulos: de forma resumida, são documentos que representam uma obrigação de pagar A importância da data focal Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 157). Data focal: É chamada, também, de data de avaliação ou data de referência. Na teoria, a escolha da data focal é indiferente, ou seja, ela pode ser qualquer uma, mas na prática não. Isso porque é preciso levar em conta a grande quantidade de cálculos que terão que ser realizados. Para resolver um problema de equivalência de capitais composta, deve-se estrategicamente escolher a data focal que facilite ao máximo o trabalho de cálculo. 46 Dependendo da data focal que for escolhida, um determinado capital poderá ser movimentado para frente ou para trás, em relação ao eixo dos tempos. Sempre que um capital for movimentado para frente (a favor do eixo dos tempos), é preciso calcular o seu montante, ou seja, estaremos incorporando juros a ele. Sempre que um capital for movimentado para trás (em sentido contrário ao do eixo dos tempos), é preciso calcular o seu valor atual, ou seja, estaremos descapitalizando-o, tirando os juros dele. 63 3.7.2 Capitais equivalentes Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais (MATHIAS, GOMES, 2004, p. 159). A equivalência de dois ou mais capitais, para determinada taxa de juros, ocorre em qualquer data tomada como referência. Fonte:< t-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em: 1 dez Considerem-se dois conjuntos de capitais, com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem: 1⁰ Conjunto de capitais 2⁰ Conjunto de capitais Capital Data de Vencimento Capital Data de Vencimento C1 n1 c1 m1 C2 n2 c2 m Cn nn cn mn Adotando-se uma taxa de juros i, e considerando a data focal zero, esses capitais serão equivalentes, se: C 1 + C C n1 n2 n ( 1+ i ) ( 1+ i) ( 1+ i) n n = c 1 + c m1 m2 m ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) n Exemplo 14: Verificar se os seguintes conjuntos de capitais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 5% ao ano. 1⁰ Conjunto de capitais 2⁰ Conjunto de capitais Capital Data de Vencimento Capital Data de Vencimento Ano Ano Ano Ano Ano Ano 4 c n Solução: 47 64 = ( 1+ 0,05) 1 ( 1+ 0,05) 2 ( 1+ 0, 05 ) 4 ( 1+ 0,05) 2 ( 1+ 0,05) 3 ( 1+ 0, 05 ) 4 952, , ,86 = 1.995, , , , ,52 Como os valores encontrados são diferentes, é possível concluir que os conjuntos de capitais não são equivalentes. Na prática, esses conjuntos de capitais podem surgir de várias maneiras diferentes: Exemplo 15: Uma loja de eletrodomésticos oferece uma geladeira no valor de R$2.850,00 (à vista), a ser pago em 4 pagamentos mensais iguais, sendo o primeiro deles a entrada. Sabendo-se que a taxa de juros adotada pela loja é de 2,5% ao mês, qual será o valor de cada prestação mensal? Solução: C = i = 2,5% ao mês n = 4 pagamentos mensais Pagamentos (x) =? = x + x + x ( 1+ 0,025) 1 ( 1+ 0,025) 2 ( 1+ 0, 025 ) ( ) ( ) 850 = x ,025 1,025 1, = x 1+ 0, , , = x. 3, = x 3,856 x = R$739,11 + x 3.8 Síntese da Unidade Nesta Unidade estudamos o regime de juros compostos. Vimos que, nesse regime, após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Estudamos, também, os conceitos de juro e de montante. Calculamos montante para períodos inteiros e não-inteiros. Trabalhamos as diferenças entre taxa proporcional, taxa equivalente e taxa nominal. Conceituamos equivalência financeira e data focal. 48 65 3.9 Para saber mais Site que contém apostilas com quase todos os assuntos desenvolvidos em Matemática Financeira. Site que contém um material muito interessante de Matemática Financeira. Começa com os conceitos iniciais e vai até o conteúdo de descontos Atividades 1 Se eu quiser comprar um carro no valor de R$60.000,00, quanto devo aplicar hoje, para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considere-se uma taxa de 2,5% ao mês (juros compostos). Fonte:< m/pt-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em 01 dez Resposta: R$33.172,52 2 Em que prazo um capital de R$18.000,00 acumula um montante de R$20.276,87, à taxa de 1,5 % ao mês? Resposta: 8 meses 3 Suponhamos que você precise de R$3.000,00 para comprar um computador novo. Considere que essa compra só será realizada no ano que vem. Se a taxa de juros é de 8% ao ano, quanto dinheiro você deveria investir hoje, para poder pagar pela compra daqui a um ano? Resposta: R$2.777,78 4 A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, ao final de 18 meses, pelo dobro do seu valor? Resposta: 3,93% ao mês 49 66 Unidade 4. Descontos Unidade 4 Nas Unidades anteriores estudamos os regimes de juros simples e compostos. Vimos que, no regime de juros simples, os valores dos juros são obtidos por meio de cálculos lineares e que esses valores encontrados não são tão utilizados no nosso dia a dia. Vimos, também, que no regime de juros compostos os valores dos juros são obtidos por meio de cálculos exponenciais e os valores encontrados são mais comuns no nosso dia a dia, pois retratam melhor nossa realidade. Fonte: < Acesso em 01 dez Nesta Unidade, estudaremos descontos para o regime de juros simples e para o regime de juros compostos. Embora sejam confundidos, juros e descontos tratam de dois critérios distintos. No cálculo dos juros, a taxa do período incide sobre o capital inicial, já no cálculo dos descontos a taxa do período incide sobre o montante. 4.1 Desconto Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento (SAMANEZ, 2007, p. 67). Segundo Samanez (2007), desconto é uma operação comum no mercado financeiro e no setor comercial. Nessa operação, o portador de títulos de crédito pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da sua data de vencimento. O banco, por sua vez, libera uma quantia menor que o valor do título. Desconto, então, é a denominação dada 50 67 ao abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de sua data de vencimento. Matematicamente, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título na data de vencimento (valor nominal) e o valor pago ao portador do título em períodos antes de seu vencimento (valor líquido) (ASSAF NETO, 2003). Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa de juros e a um determinado período de tempo. 4.2 Título de crédito Mutuante: aquele que fornece o capital; Mutuário: aquele que recebe o capital; Contrair uma dívida que deverá ser paga só no futuro é uma operação muito comum. Nessas condições, o mutuário fornece ao mutuante um documento, chamado título, por meio do qual o mutuante pode provar publicamente ser credor daquela quantia. O título é então usado para formalizar uma dívida que não pode ser pago de imediato, mas que deverá ser saldada dentro de um prazo previamente estipulado (FARIA, 2007, p ). Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: a nota promissória, a letra de câmbio e a duplicata Nota promissória Segundo Faria (2007), a Nota Promissória é um título que corresponde a uma promessa de pagamento. É muito utilizado entre pessoas físicas e instituições financeiras. Por exemplo, uma pessoa deve uma certa importância a outra e não pode pagar no momento. Então, o devedor dá ao credor uma nota promissória na qual vêm claramente especificados a quantia a ser paga, a data em que deve ser paga, o nome a e assinatura do devedor (como emitente do título) e o nome do credor (como a pessoa que deve receber a importância a ser paga) (FARIA, 2007). A pessoa que se confessa devedora é chamada de emitente, pois é ela quem emite o documento. A pessoa a quem esse documento é dirigido (a que deve receber a dívida) é chamada de credor. A data marcada para o pagamento é chamada de data de vencimento, 51 68 e o valor a ser pago na data de vencimento é chamado valor nominal do compromisso. O valor nominal é sempre o montante do valor que foi emprestado. Assim, uma nota promissória deve conter quatro elementos principais: quanto deve ser pago, quando, por quem e a quem (FARIA, 2007, p. 26) Letra de câmbio É um título pelo qual uma pessoa ordena a outra que pague a um terceiro certa quantia em determinada época. Antigamente era emitida em maior quantidade, pelas financeiras, com o intuito de captar fundos por meio de sua colocação ao público e dessa maneira obter recursos de terceiros para fazer empréstimos aos clientes tomadores em operações de crédito direto ao consumidor (CDC) ou crédito pessoal (CP) (FARIA, 2007, p. 26). Chama-se sacador a pessoa que ordena o pagamento, e sacado, a pessoa a quem é dirigida essa ordem. Beneficiário ou tomador é a pessoa que irá receber o valor grafado na letra de câmbio. Da mesma forma que uma nota promissória, o valor grafado na letra de câmbio é chamado de valor nominal, e a data em que deve ser resgatada é chamada de data de vencimento. Quando a letra de câmbio mencionar o nome do beneficiário, ela será denominada nominativa, caso contrário, será ao portador Duplicata 52 A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo combinação prévia (FARIA, 2007, p. 26). É um título de crédito que só existe no Brasil, estritamente utilizado em operações de compras e venda de mercadorias. A duplicata deve estar associada a uma nota fiscal de fatura, na qual o vendedor especifica a natureza e a quantidade dos artigos adquiridos pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc., e a importância líquida a ser paga. 69 Segundo Faria (2007), o comerciante (emitente), ao vender uma mercadoria a prazo, emite uma duplicata na qual consta o nome do cliente devedor (sacado), o valor nominal e a data de vencimento, além de outros dados. Após a emissão da duplicata, o cliente deverá assiná-la, isto é, dar o seu aceite, de que garantirá ao comerciante o recebimento do valor de venda em questão. Também na duplicata devem constar os quatro elementos principais: quanto deve ser pago, quando, por quem e a quem. 4.3 Desconto simples (d) No regime de juros simples, o desconto é estudado sob duas modalidades: desconto racional e desconto comercial. Antes de iniciarmos os cálculos de descontos, é importante apresentar algumas definições que utilizaremos nesta unidade. Desconto (d): é a quantia a ser abatida do valor nominal. Valor descontado (V) (ou valor atual): é a diferença entre o valor nominal e o desconto. É o líquido pago (ou recebido) antes da data de vencimento. Valor nominal (N) (ou montante, ou valor de face, ou valor de resgate): importância a ser paga no dia do vencimento do título; Desconto racional simples (d r ) O desconto racional é também chamado de desconto por dentro. A rigor, o desconto racional simples não passa de uma aplicação de juros simples quando o valor presente do capital é desconhecido (SAMANEZ, 2007, p. 67). Pela própria definição de desconto, e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital, temos: V r N = 1+ i n Sabemos, por definição, que: d r = N V r 53 70 Então: d r N = N 1+ i n ou d r = N(1 + i n) N 1+ i n d r N i n = 1 + i n Deve-se lembrar que a taxa i e prazo n deverão estar na mesma unidade de tempo. Exemplo 1: Qual o valor do desconto racional simples de um título no valor de R$5.000,00, com vencimento para daqui a 90 dias, à taxa de 2,5 % ao mês? Solução: d r?? N = n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% ao mês = 0,025 d r N i n d r = 1 + i n ,025 3 = 1+ 0, d r = 1,075 d r = R$348,84 Exemplo 2: Uma pessoa pretende saldar um título no valor de R$3.500,00, 5 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% ao ano, qual é o desconto obtido, e quanto essa pessoa vai obter? Solução: N = n = 5 meses i = 48% d r =?? V r =?? ao ano 12 4% ao mês d r Desconto comercial simples (d c ) N i n d r = 1 + i n ,04 5 = 1+ 0, d r = 1,20 d r = R$583,33 V r Vr = N d r = ,33 V r = R$2.916,67 54 No Brasil, o desconto comercial simples não é muito praticado, por um motivo muito simples: esta modalidade é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceder um desconto em função de uma negociação. Esta modalidade será sempre mais 71 interessante para quem solicita o desconto, mas como na maioria dos casos quem tem a posse dos recursos financeiros normalmente determina a metodologia de cálculo da operação, portanto, torna-se uma prática pouco usual (CASTELO BRANCO, 2005, p. 71). Nesta modalidade, também conhecida como desconto por fora, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título (SAMANEZ, 2007, p. 68): d c = N i n Para obtermos o valor descontado comercial, basta aplicarmos a definição: Vc = N d c ou V c = N N i n V c = N( 1 i n) Exemplo 3: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$5.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2.5% ao mês? Solução: d c?? N = n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% ao mês = 0,025 d c d c = N i n = ,025 3 d c = R$375 Exemplo 4: Com certeza você já viu uma placa como esta em algumas lojas, não é verdade? Considere, então, que aquela calça jeans dos seus sonhos custe R$800,00 a prazo, mas, a loja está com um desconto de 25% para os pagamentos a vista. 55 72 Qual o valor do desconto que você irá receber se optasse pagar a vista? E qual seria o valor da calça a vista? Solução: N = 800 i = 25% = 0,25 (para o prazo total da antecipação) n = O prazo de antecipação é considerado como se fosse apenas um período, o prazo total da antecipação Desconto bancário simples (d b ) d c V c d c d c = N i n = 800 0,25 1 = 200 valor do desconto V c V = N c d c = = 600 valor pago a vista Exemplo 5: Nas operações de descontos realizadas em estabelecimentos bancários. Além do valor resultante da aplicação do desconto por fora, costumase cobrar, sob a alegação de ter de arcar com despesas administrativas, uma certa taxa incidente sobre o valor nominal do compromisso (FARO, 2006, p. 148). Uma nota promissória no valor de R$ ,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento, em uma instituição financeira que cobra uma taxa de despesas administrativas de 2% sobre o valor nominal do título. Considerando-se que a taxa de juros cobrada por essa instituição é de 3,5 % ao mês, qual será o valor do desconto recebido? Solução: d =?? b N = n = 4 meses i = 3,5% ao mês = 0,035 h = 2% = 0,02 (taxa administrativa) Taxa de juros efetiva (i f ) d b d b = N i n + N h d b = N( i n + h) = (0, ,02) d b = (0,14 + 0,02) d b = R$ A taxa de juros efetiva nada mais é do que a taxa que você realmente está pagando. No caso dos descontos é a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado comercial faz gerar no período considerado (prazo de antecipação) um montante igual ao valor nominal (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 67). 73 Sendo: i f : taxa de juros efetiva V c : valor atual comercial (ou valor descontado comercial) n: número de períodos antes do vencimento Usando a definição, temos: M = C( 1+ i n) N = V ( 1 i. n) c + f Passando todas as variáveis para o mesmo lado da igualdade e isolandoi f, temos: i f = N V c n 1 Exemplo 6: Calcule o desconto comercial de um título no valor nominal de R$10.500,00, considerando uma taxa de juros de 28,8% ao ano e um prazo de antecipação para o resgate como sendo de 60 dias. Qual a taxa de juros efetiva que está sendo cobrada? Solução: d c?? N = n = 60 dias = 2 meses 12 i = 28,8% ao ano 2,4% ao mês i f =???? d c V c d c = N i n = ,024 2 d c = 504 = V c = R$9.996 N 1 Vc i f = n i = f 2 i f = 2,52% ao mês Relação existente entre Desconto comercial e Desconto racional Pelos exemplos que resolvemos anteriormente, é possível verificar que o desconto comercial é sempre maior que o desconto racional (calculado nas mesmas condições). Matematicamente: dc d r Mas, qual a relação existente entre os dois descontos? 57 74 Sabemos que: N. i. n d r = e d c = N. i. n 1 + i. n Observando e comparando as duas equações é possível perceber que: dr dc = 1+ i. n Ou, de forma um pouco diferente, dc = dr ( 1 + i. n). Que é uma equação semelhante a outra que já conhecemos, a do montante para o regime de juros simples. Ou seja, podemos afirmar que o desconto comercial nada mais é do que o montante do desconto racional calculado para o mesmo prazo de antecipação e à mesma taxa de desconto (MATHIAS; GOMES, 2004). Exemplo 7: Numa operação de desconto de um título com prazo de vencimento para daqui a 5 meses, sabe-se que o desconto comercial é R$14,00 a mais que o desconto racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa de juros for de 24% ao ano? Solução: d c = d r +14 dc dr = 14 i = 12 24% ao ano 2% ao mês n = 5 meses N =?? dc = dr ( 1+ i n) dc = dr + dr i n dc dr = dr i n 14 = d r 0, = d r 0,10 d r = R$140 d c = R$154 d c = N i n 154 = N 0, ,10 = N N = R$ Descontos compostos (D) 58 No regime de juros compostos, que é o que deve ser utilizado em operações de médio e longo prazo, costuma-se fazer uso somente do desconto dito racional, ou por dentro. Entretanto, estendendo o conceito de desconto comercial, podemos também ter o chamado desconto composto por fora (FARO, 2006, p. 160). 75 4.4.1 Desconto racional composto (D r ) Segundo Assaf Neto (2003), o desconto composto Racional ( por dentro ) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Dessa forma, o valor descontado racional ( V ) nada mais é do que o valor presente do regime de juros compostos, conforme apresentado na unidade 3, ou seja: r V r N = 1 + ( i) n Sabendo-se de antemão que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal (valor de resgate) e o valor descontado (valor presente), o desconto racional ( D ) terá, então, a seguinte expressão de cálculo: Colocando-se N em evidência: D r D = N r V r = N N ( 1 + i) n r D r = N 1 1 ( ) n 1 + i Exemplo 8: Uma nota promissória no valor de R$8.000,00 foi saldada seis meses antes de seu vencimento. O possuidor da nota obteve uma taxa de desconto composta de 1,5% ao mês. Qual o valor do desconto racional composto, e qual a quantia recebida? Solução: Quantia recebida: Valor do desconto: N = D = N r V r 59 76 i = 1,5% ao mês = 0,015 n = 6 meses D r =?? (desconto) V r =?? (quantia recebida) V r Vr = = N ( 1+ i) n ( 1+ 0,015) 6 V r = R$7.316,34 D r = ,34 D r = R$683, Desconto comercial composto (D c ) O desconto composto por fora caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. Nessa conceituação, o desconto composto comercial apresenta os seguintes resultados numa sucessão de períodos (ASSAF NETO, 2003, p. 105): V C 1 1º período: = N D Sabemos que 2º período: D C = N i Como: Tem-se: V C 1 V C 1 D C = N i = N N i = N 1 ( i) O valor N( 1 i) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no período seguinte. Com isso, para o 2º período, teremos: D C 2 = N(1 i) i Logo, como: VC = V 2 C D 1 C2 Teremos: V C 2 = N(1 i) N(1 i) i Colocando N( 1 i) em evidência, temos: V C = N(1 i) 2 2 Se generalizarmos o desenvolvimento do desconto comercial composto até o enésimo período, obteremos a seguinte expressão de cálculo: VC = N 1 ( i) n Como, por definição, D C = N V, temos: C 60 D C = N[1 (1 i) n ] 77 Exemplo 9: Um título no valor de R$15.000,00 é negociado, mediante uma operação de desconto comercial composto, 6 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada é 5% ao mês. Determine o valor descontado e o valor do desconto. Solução: N = n = 6 meses i = 5% ao mês V c =?? D c =?? V c Vc = N 1 ( i) n = V c Dc N V c ( 0,05) 6 = ,38 = D c = R$3.973, Taxa efetiva cobrada (i f ) Da mesma maneira que ocorreu no desconto comercial simples, aqui também existirá uma taxa de juros efetiva. Lembre-se que, segundo Mathias e Gomes (2004), a taxa efetiva é aquela que conduz, pelo desconto racional, ao mesmo valor calculado pelo desconto comercial. Exemplo 10: Uma empresa deve R$ ,00 a um banco, e o vencimento se dará dentro de 10 meses. No entanto, 3 meses antes da data prevista para o vencimento da dívida, a empresa resolve quitar o empréstimo, solicitando, assim, um desconto. O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto comercial composto, e que sua taxa de desconto para esse tipo de operação é de 2,5% ao mês. Calcule o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco e a taxa efetiva de juros cobrada. Solução: N = n = 3 meses i = 2,5% ao mês V c =?? V c Valor líquido: V c = N 1 ( i) n = ( 1 0,025) 3 V c = R$ ,91 Taxa efetiva: N = V c 1 + i ( f ) n ( + i ) = ,91 1 f = ( 1+ i ) 3 f ,91 3 1,0789 =1+ i f 61 78 i f =?? i f = 2,56% ao mês 4.5 Síntese da Unidade Nesta Unidade estudamos o conceito de desconto, para o regime de juros simples e para o regime de juros compostos. Vimos que o desconto é uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado de uma dívida, e vimos, também, que, para cada regime de capitalização, existem dois tipos diferentes de descontos: o desconto racional e o desconto comercial. 4.6 Para saber mais Filme Robinson Crusoé: Adaptação do clássico de Daniel Defoe. Robinson, um marinheiro britânico, é o único sobrevivente de um naufrágio e vai parar numa ilha deserta. Ali desenvolve incrível habilidade para construir ferramentas e utensílios a partir de elementos da natureza. Crusoé vê-se forçado a lutar contra as armadilhas da própria mente, a fim de manter-se longe da loucura. Salva um nativo de uma tribo de canibais e batiza-o de Sexta-feira. A necessidade urgente de companhia fará Crusoé confrontar seus princípios racistas, nascendo daí um laço tão grande de amizade como ele nunca havia conhecido. E é essa amizade peculiar que lhe dará forças para sobreviver a todas as adversidades e encontrar seu caminho de volta a civilização. Direção: Rod Hardy e George Miller. Sites É um portal educativo com material para o ensino fundamental e médio, provas de vestibular e história da matemática, além de biografias de matemáticos, trabalhos de alunos, provas online, um grande acervo de softwares matemáticos, artigos, jogos, curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. 62 79 A Educação e Matemática é a revista da APM. O seu primeiro número data de janeiro de Nela são publicados artigos sobre ensino/aprendizagem, experiências de inovação, propostas de atividade para a sala de aula, dentre outros assuntos. 4.7 Atividades 1. Calcule o valor do desconto, comercial e racional, de um título de crédito de R$ ,00, com 120 dias a vencer, sabendo que a taxa de desconto simples é de 2,5% ao mês para ambos os critérios. Fonte:< /pt-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em 01 dez Respostas: R$ 5.000,00 (comercial) e R$ 4.545,45(racional). 2. Sabendo que o desconto de uma duplicata no valor de R$ ,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ ,06 na conta do cliente, determine a taxa mensal de desconto simples, de acordo com a conceituação comercial e racional. Resposta: 2,34% (comercial) e 2,65% (racional). 3. Um título no valor nominal de R$20.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto comercial composto, 5 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 3% ao mês. Determine o valor descontado e a taxa de juros efetiva. Resposta: R$17.174,68 (valor descontado) 3,09% ao mês (taxa efetiva) 4. Calcule o valor do desconto comercial de um título de R$20.000,00, 1 ano antes do vencimento, à taxa de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Resposta: R$ 3.709, 88 63 80 Unidade 5 Série de Pagamentos ou Anuidades Unidade 5. Chamamos de série de pagamentos ou recebimentos, série de prestações, anuidades ou fluxos de caixa a toda sequência finita ou infinita de pagamentos ou recebimentos em datas previamente estipuladas. Estas sequências de capitais podem ser vencíveis em intervalos de tempo regulares ou não, com valores constantes ou não. Amortizar: Redução da dívida em prestações, amenizar, suavizar. Nas aplicações financeiras, o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, temse um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 207). São exemplos de rendas os salários e as aposentadorias, os alugueis e as prestações de consórcios, as mensalidades escolares e os planos de financiamentos. Nesta Unidade estudaremos as Rendas Certas ou Determinísticas, que são aquelas cuja duração e cujos pagamentos são predeterminados, que não dependem de condições externas. 5.1 Definições Seja a seguinte série de capitais: meses 64 Figura Sequência de capitais 81 Segundo Mathias e Gomes (2004), os valores que constituem a renda são chamados de termos, e o intervalo de tempo entre dois termos chama-se período. Na Figura 5.1, os termos são os valores de R$150, R$250, e assim por diante, e os períodos são mensais. Por exemplo, entre o termo de R$150 e o de R$250 o intervalo é de 1 mês. A soma de todos os períodos é definida como a duração da série. Na figura anterior, a duração é de 7 meses. O valor atual da anuidade é a soma de todos os valores atuais de seus termos, soma que deve ser feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. Da mesma forma, o montante de uma anuidade é a soma de todos os montantes de seus termos. 5.2 Classificação Segundo Assaf Neto (2003), os fluxos de caixa (as séries de pagamento) são apresentados de diferentes formas e tipos, cada um deles exigindo um tratamento específico, em termos de formulações. É preciso, portanto, primeiro classificar as anuidades antes de resolvêlas. As anuidades podem ser classificadas quanto: A periodicidade: Periódicas: quando os intervalos de tempo entre as parcelas são iguais; Figura 5.2- Série Periódica São exemplos de séries periódicas: as parcelas do colégio, de um curso de línguas ou da faculdade, as contas de água, luz e telefone. Esses exemplos são de séries mensais, ou seja, todos os intervalos entre os pagamentos são de um mês. Não-periódicas: quando os intervalos entre as parcelas não são iguais. É aquela exigível em intervalos de tempo irregulares, em prazos distintos uns dos outros. 65 82 Figura Série Não-periódica Um exemplo bem comum de séries não-periódicas é o telefone pré-pago. Os intervalos entre os pagamentos ( créditos colocados no telefone ) nem sempre são constantes Ao prazo: Temporárias: com duração limitada; extingue-se depois de certo prazo, e o número de parcelas é conhecido. Também é conhecida como série finita Figura Série Temporária Exemplos de séries temporárias: as parcelas do colégio, de um curso de línguas ou da faculdade, parcelas de uma compra realizada. Uma faculdade é paga durante 3 ou 4 anos, ou seja, o número de parcelas é conhecido. Perpétuas: com duração ilimitada, o número de parcelas não é conhecido. Também são conhecidas como séries infinitas Figura Série Perpétua 66 São exemplos de séries perpétuas: o aluguel, a aposentadoria, o salário, as contas de água, luz e telefone. Em todos os exemplos o número de termos é desconhecido: não sabemos por quanto tempo exatamente vamos receber salário ou pagar conta de telefone. 83 5.2.3 Ao valor dos termos: Constantes: com todas as parcelas iguais Figura Série Constante Exemplos de séries constantes: as parcelas de um financiamento, as parcelas de um curso de línguas ou de uma compra. Todo mês paga-se o mesmo valor. Variáveis: com parcelas de valores diferentes, nem todos os valores são iguais Figura Série Variável São exemplos de séries variáveis: as contas de água, luz e telefone. Todo mês pagamos valores diferentes A forma de pagamento ou recebimento: Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro intervalo de tempo. Postecipadas: quando as parcelas ocorrem no final de cada intervalo de tempo Figura Série Imediata Postecipada 67 84 Exemplos simples de séries imediatas e postecipadas: contas de água, luz e telefone. As contas são pagas no mês subsequente ao do consumo. O salário é outro exemplo trabalhamos um mês inteiro para só então recebermos o seu valor. Antecipadas: quando as parcelas ocorrem no início de cada intervalo de tempo Figura Série Imediata Antecipada Exemplos de séries imediatas e antecipadas: o aluguel e as parcelas da faculdade. O aluguel normalmente é pago no início de cada mês, ou seja, primeiro paga-se o seu valor, para em seguida ter o direito de permanecer no lugar. Uma compra em que é paga uma parcela como entrada também é um exemplo de série imediata antecipada. Diferidas: Quando há um prazo de carência, ou seja, os termos não são exigíveis a partir do primeiro intervalo de tempo. Postecipadas: é aquela que, desprezado o prazo da carência, as parcelas ocorrem no final de cada intervalo de tempo Figura Série Diferida Postecipada com 3 meses de carência Antecipadas: é aquela que, desprezado o prazo da carência, as parcelas ocorrem no início de cada intervalo de tempo. 68 85 Figura Série Diferida Antecipada com 4 meses de carência 5.3 Dados que compõem uma anuidade Em Matemática Financeira, para a montagem das equações e para facilitar a comunicação, valemo-nos de símbolos. Seguem os símbolos que utilizaremos nesta Unidade. PMT: representará o valor das parcelas iguais, as prestações, os depósitos, ou qualquer outra expressão que possa ser utilizada para significar o valor a ser pago ou recebido em cada intervalo de tempo. i: representará a taxa de juros paga ou cobrada para um determinado intervalo de tempo. A taxa deve obrigatoriamente estar na mesma unidade de tempo em que as prestações se encontram. n: representará o número de pagamentos ou recebimentos que compõe uma série. Pode representar, também, os períodos em que não existem pagamentos ou recebimentos, conhecidos como carência. C: representará o valor presente, o valor na primeira data considerada, no início da série; é o capital inicial. O valor presente é a soma de todos os valores presentes dos seus termos. M: representará o montante, ou o valor na última data considerada, no final da série. O Montante de uma anuidade é a soma de todos os montantes de seus termos. Vamos fazer um exemplo para ver se você entendeu? 69 86 Exemplo 1: Encontre os dados que compõem o problema abaixo. Uma determinada mercadoria está sendo vendida em 8 prestações mensais iguais de R$352,00. Sabendo-se que a primeira prestação será paga um mês após a compra e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 2,5% ao mês, qual será o valor dessa mercadoria à vista? Solução: n = 8 (parcelas mensais) PMT = 352,00 i = 2,5% ao mês C =??? 5.4 Série de pagamentos - Modelo Básico Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que são simultaneamente: temporárias, constantes, imediatas e postecipadas e periódicas. E que a taxa de juros i seja referida ao mesmo período dos termos (MATHIAS; GOMES, 2004, p ). Assim, quando estivermos trabalhando com o modelo básico de anuidades, consideraremos que a primeira parcela ocorrerá exatamente 1 (um) intervalo de tempo após a realização da operação, e que o montante será calculado na unidade de tempo em que ocorrer a última parcela. Exemplo 2: No exemplo que segue, apenas identifique os dados que comprovam que o problema se encaixa no modelo básico de séries de pagamentos. Você comprou um carro e resolveu pagá-lo em quatro prestações mensais e iguais de R$11.500,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra, e o vendedor afirmou ter cobrado uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual o preço do carro à vista? Solução: 70 87 Temporária : 4 prestações Constante : iguais Imediata e Postecipada : as prestações serão pagas a partir do mês seguinte Periódica : mensais ao da compra Valor atual do modelo básico O valor presente (atual) representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo (data zero), considerando-se a mesma taxa de juros. Então, seja um principal C a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos, postecipados e periódicos. Seja também uma taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. A representação gráfica do problema pode ser observada na Figura C PMT PMT PMT PMT n-1 n Figura 5.12 Representação gráfica do valor atual pelo modelo básico A soma de todos os valores na data zero é dada por: C = C = PMT PMT PMT PMT 2 ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) n n ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i ) a n i 1 C = PMT. a n i 71 88 Segundo Mathias e Gomes (2004), o valor de a é obtido pela soma dos termos de uma PG crescente e finita. E, lembrando que a soma dos termos de uma PG finita é igual a: Onde: 1 a1 = = ( 1+ i) 1 ; 1 ( 1+ i) Sn n a1 a n.q = 1 q 1 a n = = ( 1+ i) n ; n ( 1+ i) i q = PG: Progressão geométrica. 1 ( 1+ i) = ( 1+ i) 1 Temos que: Sn a1 a n.q = a n i 1 q = ou a n i Realizando alguns cálculos matemáticos, chegamos que: = 1 n ( 1+ i) ( 1+ i).( 1+ i) 1 ( 1+ i) 1 1 a n i 1 = ( 1+ i) i n Obs: a lê-se como: a, n cantoneira i, ou simplesmente como a, n, i e é apenas mais n i uma simbologia utilizada em Matemática Financeira. Exemplo 3: Você comprou uma geladeira em 8 prestações mensais iguais de R$139,00. Sabendo-se que a primeira prestação só foi paga um mês após a compra e que a taxa de juros cobrada pela loja foi de 2,5% ao mês, qual teria sido o valor dessa mercadoria, se você tivesse optado por comprar à vista? Solução: 72 Dados: C = PMT. an i C = , a n i 1 = ( 1+ i) i n 89 n = 8 (prestações mensais) PMT =139,00 i = 2,5% ao mês C =?? C = R$996,65 = ( 1+ 0,025) 1 0,025 = 7, Perceba que neste problema a taxa e as prestações se encontram na mesma unidade de tempo (ambas são mensais); se isso não ocorresse, deveríamos utilizar o regime de juros compostos, para encontrar a taxa equivalente. Exemplo 4: Um televisor foi anunciado nas seguintes condições: R$400,00 de entrada mais 7 prestações mensais de R$350,00, sendo que a primeira delas deverá ser paga um mês após a compra. Sabendo, também, que o juro cobrado na loja em questão é de 2% ao mês, calcule qual seria o preço à vista. Solução: Dados: Entrada = 400,00 n = 7 (prestações mensais) PMT = 350,00 i = 2% ao mês C =?? Montante do modelo básico C = PMT. a + Entrada n C = , PMT = 350 6, PMT = R$2.665,20 i a n i 1 = ( 1+ i) 1 = i ( 1+ 0,02) 0,02 = 6, O valor futuro ou montante de uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes postecipados será igual à soma dos montantes de cada prestação em uma determinada data futura, calculados pela mesma taxa de juros. Seja um processo de capitalização em que são aplicadas parcelas iguais a PMT, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. Vamos determinar o montante (M) na data focal n, que resulta desse processo de capitalização (MATHIAS; GOMES, 2004). 7 n 73 90 PMT PMT PMT PMT n-1 n M PMT Figura 5.13 Representação gráfica do valor do montante pelo modelo básico Segundo Mathias e Gomes (2004), o montante é a soma dos montantes de cada um dos termos PMT, à taxa de juros i, na data focal n. M = PMT + PMT n ( 1+ i) + + PMT( 1+ i) 1 2 ( 1+ i) + ( 1+ i) + + ( 1+ i) s n i n 1 M = PMT. 1+ M = PMT. s n i O valor de s também é obtido pela soma dos termos de uma PG (progressão n i geométrica) crescente e finita. Sabemos que a soma dos termos de uma PG finita é igual a: Sn a1 a n.q = 1 q E, sabendo também que: Temos: n 1 a ; a = ( 1+ i) ; q = ( 1 + i) 1 = 1 n Sn = a an. q = sn i 1 q 1 ou s n i 1 = n 1 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 ( 1+ i) 74 Então: s n i = ( + i) n 1 1 i 91 Exemplo 5: Uma pessoa deposita mensalmente R$300,00 numa caderneta de poupança que paga 0,5% de juros ao mês. Quanto terá essa pessoa, após ter realizado seu sétimo depósito? Solução: Dados: M = PMT. sn i PMT = 300 M = , i = 0,5% a.m.= 0,005 M = R$2.131,76 n = 7 (depósitos mensais) M =?? sn i = ( 1+ i) = ( 1 + 0,005 ) 0,005 n 1 i 7 = 7, Exemplo 6: Uma pessoa efetuou 7 depósitos mensais numa caderneta de poupança que paga juros de 1% ao mês, tendo, no mês do último depósito, o saldo de R$2.142,42. Quanto essa pessoa depositou mensalmente? Solução: Dados: n = 7 (depósitos mensais) i =1% ao mês = 0,01 M = 2.142,42 PMT =?? M = PMT. sn i 2.142,42 = PMT. 7, PMT = 2.142,42 7, PMT = R$297,00 sn i = ( 1+ i) = ( 1 + 0,01 ) 0,01 n 1 i 7 = 7, Anuidades antecipadas Segundo Bauer (1996), é comum dizermos que a anuidade antecipada é aquela que possui uma entrada com o mesmo valor que as demais parcelas. Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento zero, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou de qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 115). 75 92 A anuidade antecipada só diverge da anuidade do modelo básico quanto à forma, enquanto a anuidade modelo básico é imediata postecipada, esta é imediata antecipada (BAUER, 1996, p 144). É importante deixar claro que, quando o valor da entrada for diferente do valor das demais parcelas, isso não caracterizará uma anuidade antecipada; nesse caso, não poderemos utilizar as equações de anuidades antecipadas, mas deveremos considerar esse valor separadamente Valor atual de uma anuidade antecipada Segundo Mathias e Gomes (2004), da mesma forma que o valor atual do modelo básico, o valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando-se a mesma taxa de juros para todas as prestações. Então, seja C um principal que deve ser pago em n prestações (ou termos) iguais a PMT, antecipadas, imediatas e periódicas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. Graficamente, temos: C PMT PMT PMT PMT n-1 n Figura Representação gráfica do valor atual pelo modelo antecipado A soma de todos os valores na data zero, para uma anuidade antecipada, é dada por: 76 PMT PMT PMT C = PMT n ( ) 1 ( ) 2 ( 1 1+ i 1+ i + i) C PMT =. n ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) 1 93 C PMT ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 n + i + i + i = C = PMT ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i). 2 a n i ( 1+ i) ( 1+ 1) ( 1 i) + n C = PMT..(1+i) a n i Exemplo 7: Um tapete egípcio é vendido em 5 prestações mensais iguais de R$530,00, e a primeira prestação é no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 4 % ao mês, qual seria o valor dessa mercadoria, se você optasse por comprá-la à vista? Solução: Dados: antecipada n = 5 (mensais) PMT = 530 i = 4% ao mês = 0,04 C =?? C = PMT. a.(1+i) C = , (1+0,04) C = 530 4, ,04 C = R$2.453,84 n i a n i 1 = 1 = ( 1+ i) i ( 1+ 0,04) 0,04 = 4, n Valor futuro de uma anuidade antecipada Segundo Bauer (1996), da mesma forma que acontece com o valor atual de uma anuidade antecipada, para calcular o montante acrescentamos (1+i) à equação do modelo básico. Isso acontece porque a última parcela a ser considerada está um intervalo antes do momento em que queremos saber o montante. Seja um processo de capitalização em que são depositadas n parcelas (ou termos) iguais a PMT, antecipadas, imediatas e periódicas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 261). A representação gráfica será: 77 94 PMT PMT PMT PMT PMT n-1 n M Figura Representação gráfica do valor do montante pelo modelo antecipado 2 n ((1 + i) + ( 1+ i) + + ( i) ) M = PMT 1+ ( + i) ( 1+ i) n ((1 + i) + ( 1+ i) + + ( i) ) 1 2 M = PMT 1+ M = PMT. 2 ( 1+ i) 1+ ( 1+ i) + ( 1+ i) + + ( 1+ i) s n i n 1 M = PMT. 1+ ( i) s n i Exemplo 8: Uma pessoa, prevendo uma viagem, precisará de R$18.000,00 para daqui a seis meses. Para isso, começa a depositar um determinado valor, todo início de mês, em uma aplicação financeira que paga juros efetivos de 0,7% ao mês. Qual deverá ser o valor de cada depósito, de modo que essa pessoa consiga dispor da quantia, ao término do sexto mês? 78 Solução: Dados: M = PMT. sn i.(1+i) = PMT. 6, (1+0,007) ( 1+ i) n 1 sn i = i = ( 1+ 0,007 ) 6 1 0,007 95 antecipada n = 6 (mensais) M = i = 0,7% ao mês = 0,007 PMT =?? PMT = , PMT = R$2.927,44 = 6, Modelos genéricos de anuidades Por modelo genérico de anuidades, entende-se que são aquelas que não se enquadram, tanto no modelo básico, quanto no modelo antecipado de séries de pagamentos Anuidades diferidas Segundo Mathias e Gomes (2004), anuidades diferidas são aquelas em que os termos são exigíveis, pelo menos, a partir do segundo período. Ou seja, a primeira parcela é exigível a partir de certo período de carência. As anuidades diferidas também podem ser relacionadas com o valor atual e o valor futuro. Quando estivermos analisando uma anuidade relacionada com o valor atual, a carência estará localizada no início da série, como pode ser visualizado na Figura 5.16, e, se estivermos tratando do valor futuro, a carência estará no final da série. Quando estivermos diante de Anuidades Diferidas, é possível estabelecer se o problema será resolvido pelo modelo antecipado ou postecipado, dependendo, apenas, do prazo de carência que considerarmos. Obs: Ao analisarmos o valor presente, a interpretação será feita em relação ao início da série. Dessa forma, quando o período considerado como carência for contado até um período antes do primeiro termo, teremos uma anuidade diferida postecipada e, quando a carência for considerada até o primeiro termo, ela será considerada uma anuidade diferida antecipada, obedecendo aos mesmos critérios de anuidade antecipada ou postecipada das Anuidades imediatas. Quando estivermos analisando o montante, valor futuro, a interpretação será feita em relação ao final da série. Dessa forma, quando o período considerado como carência for 79 96 contado a partir do último depósito, teremos uma anuidade diferida postecipada e, quando a carência for considerada a partir de um intervalo após o último depósito, ela será uma anuidade diferida antecipada, obedecendo aos mesmos critérios de anuidade antecipada ou postecipada das Anuidades imediatas. Exemplo 9: Uma pessoa receberá 30 prestações mensais e iguais de R$450,00, com uma carência de 15 meses postecipados (ou seja, parcelas a partir do 16º mês). Sendo a taxa de juros de mercado igual a 2% ao mês, pergunta-se: Qual seria o valor das prestações na data zero? Solução: A Figura 5.16 apresenta graficamente como é o problema. C C Figura Representação gráfica do valor atual com carência 1ª parte: Dados: PMT = 450 n = 30 (parcelas mensais) i = 2% ao mês C1 =?? C 1 Cálculo: = PMT. a n i C 1 = , C 1 = R$10.078,40 a a n i n i a n i ( 1+ i) 1 = i 1 ( 1+ 0,02) n 30 = 0,02 = 22, ª Parte: 97 Dados: C1 = M = ,40 n = 15 (meses) i = 2% ao mês C =?? Logo, o valor das prestações na data zero será de R$7.488,40 Cálculo: M = C( 1+ i) ,40 = C (1 + 0,02) ,40 C = C = R$7.488, 40 1, Anuidade em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere a taxa Segundo Mathias e Gomes (2004), quando o período das parcelas não coincide com o período a que se refere a taxa, ou seja, as unidades de tempo das parcelas e da taxa são diferentes, é preciso calcular a taxa equivalente ao período dos termos e resolver o problema pelo modelo básico. n Exemplo 10: Um jogo de sofás é vendido em 5 prestações de R$600,00, que devem ser pagas a cada 2 meses. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 3% ao mês, qual seria o valor do sofá, se optássemos pelo pagamento à vista? Solução: C Figura Representação gráfica do problema 81 98 PMT = 600 n = 5 (prestações bimestrais) i = 3% ao mês C =?? C = PMT. a n i C = 600.4, C = R$2.521,24 Como as prestações e a taxa de juros não estão na mesma unidade de tempo, é preciso encontrar a taxa equivalente, então: ( 1+ 0,03) 2 1 i = i = 6,09% ao bimestre q a n i n i q ( 1+ i) n 1 = i ( 1+ 0,0609) 1 = 0,0609 = 4, Anuidade com termos constantes, segundo o modelo básico, mais parcelas Intermediárias iguais Segundo Mathias e Gomes (2004), quando a série de pagamentos se apresenta com termos iguais e, além disso, tem parcelas intermediárias equidistantes e de mesmo valor, a resolução é feita em duas etapas: Exemplo 11: a a n i a) Uniformização da anuidade, de modo que todos os termos sejam iguais entre si, com a taxa de juros i referida ao período dos termos. Nessas condições, esta anuidade se conforma ao modelo básico e pode ter seu valor atual e montante calculados; b) Por diferença, determina-se o valor das parcelas intermediárias, que são iguais entre si. A seguir, calcula-se a taxa de juros equivalente (i ), referida ao período dos termos intermediários. Essa anuidade agora está conforme à anuidade no item anterior e pode se resolvida (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 268). Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a R$2.500,00, enquanto as prestações de ordem par são iguais a R$3.500,00. Considerando-se que a taxa de juros cobrada pela revendedora é de 2% ao mês, qual seria o preço à vista? Solução: 99 Figura Representação gráfica do problema Para resolver o problema teremos que dividi-lo em duas partes. 1ª parte: Uniformizando a anuidade de modo a ter 8 parcelas iguais: Figura Representação gráfica do problema O valor presente dessa série na data zero será: PMT = 2500 n = 8 (prestações mensais) i = 2% ao mês C =?? C = PMT. a n i C = , C = R$18.313,70 2ª parte: os valores restantes formam uma nova anuidade: Figura Representação gráfica do problema PMT = 1000 n = 4 (prestações bimestrais) i = 2% ao mês 4,04% ao bimestre C =?? C = PMT. a n i C = , C = R$3.626,48 O preço do carro a vista, então, será a soma destes dois valores: Preço a vista = , ,48 83 100 Preço à vista = R$21.940, Anuidades perpétuas Anuidades perpétuas [...] são aquelas de duração ilimitada. Só tem sentido calcular o valor atual, uma vez que o montante será infinito (MATHIAS; GOMES, 2004, p 272). Se C é um principal que deverá ser pago em infinitos termos iguais a PMT, postecipados, imediatos e periódicos, a uma dada taxa de juros i, na mesma unidade de tempo que os termos, temos que: C = PMT i Segundo Mathias e Gomes (2004), essa equação pode ser utilizada para fazer uma avaliação rápida de imóveis. O valor do imóvel pode ser entendido como sendo o valor atual da soma dos aluguéis descontados, desconto esse à taxa de juros (i) que representa o ganho que o possuidor do imóvel teria se aplicasse seu dinheiro a juros compostos no mercado financeiro, ou seja, representa a taxa de juros que ele receberia na melhor aplicação encontrada. Exemplo 12: O valor do aluguel de um determinado apartamento é de R$850,00 por mês. Se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% ao mês, qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel? Solução: PMT = 850 i = 1% ao mês C =?? Anuidades variáveis Cálculo: 850 C = 0,01 C = R$ Segundo Mathias e Gomes (2004), as anuidades variáveis são aquelas cujos termos não são iguais entre si. A resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos valores atuais de cada um de seus termos. É possível obter o montante pela capitalização do valor atual ou pela soma dos montantes de cada termo (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 273). 101 Exemplo 13: Uma casa foi comprada em 5 prestações trimestrais. Os valores das prestações são: 1º trimestre: R$30.000,00 2º trimestre: R$25.000,00 3º trimestre: R$12.000,00 4º trimestre: R$13.000,00 5º trimestre: R$28.000,00. Se a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no mercado for de 2,5% ao mês, qual será o valor do terreno à vista? Solução: C = ( 1+ 0,025) 3 ( 1+ 0,025) 6 ( 1+ 0,025) 9 ( 1+ 0,025) 12 ( 1+ 0, 025 ) 15 C = , , , , , C = R$88.023, Síntese da Unidade Nesta Unidade estudamos os conceitos envolvidos nas séries de pagamentos ou recebimentos. Trabalhamos com as séries do modelo básico e do modelo antecipado e utilizamos seus conceitos para determinar o valor presente e o montante. Trabalhamos, também, com as séries do modelo genérico, que são aquelas que não se enquadram em algum dos conceitos que caracterizam as anuidades do modelo básico. 5.8 Para saber mais É um portal educativo com material para o ensino fundamental e médio, provas de vestibular e história da matemática além de biografias de matemáticos, trabalhos de alunos, provas online, um grande acervo de softwares matemáticos, artigos, jogos, curiosidades, histórias, fóruns de discussão e muito mais. 85 102 Site no qual serão encontradas informações relevantes para a disciplina Matemática Financeira, incluindo apostilas, exercícios e gabaritos de exercícios, questionários e tarefas. Site que contém diversas apostilas com quase todos os assuntos trabalhados em Matemática Financeira. 5.8 Atividades 1. Uma pessoa necessitará de R$15.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá depositar ao final de cada mês, em uma instituição financeira que rende 1,5% ao mês de juros, para obter tal valor? Resposta: R$1.401,51 2. Um determinado eletrodoméstico é vendido com entrada de R$300,00 mais seis prestações mensais de R$250,00. Determine qual seria o valor à vista, considerando-se uma taxa de juros de 2% a.m. Resposta: R$1.700,36 3. Uma casa é alugada por R$2.500,00 mensais. Sabendo-se que a melhor taxa de juros corrente de mercado é de 0,7% ao mês, qual é o valor estimado dessa casa? Resposta: R$ ,86 4. Uma pessoa depositou R$1.000,00, na abertura de uma conta em uma instituição que paga 1% ao mês sobre o saldo credor. Em seguida, efetuou uma série de 24 depósitos mensais de R$400,00, e o primeiro deles foi feito somente quatro meses após a abertura da conta. Supondo-se que não seja efetuada nenhuma retirada, quanto haverá na conta. 5 anos após sua abertura? Fonte:< m/pt-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em 01 dez Resposta: R$16.799,82 86 103 5. Uma bolsa muito chique é vendida em 7 prestações de R$2.800,00, a serem pagas a cada 2 meses. Considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3% ao mês, qual será o valor total pago pela bolsa? Resposta: R$23.567,34 6. Um vestido pode ser adquirido em 5 prestações mensais de R$340,00, e a primeira parcela deverá ser dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3% a.m., qual seria o valor à vista, desse vestido? Resposta: R$1.603,81 87 104 Unidade 6. Sistemas Unidade 6 de Amortização de Empréstimos e Financiamentos Segundo Mathias e Gomes, (2004), financeiramente a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por certo prazo. Quem assume a dívida compromete-se a restituir o principal mais os juros devidos, no prazo estipulado. Os Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos tratam, principalmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros serão restituídos. Sistema de Amortização: é o processo pelo qual extinguimos progressivamente uma dívida, mediante o pagamento de uma série de prestações (ZENTGRAF, 2007, p. 328). Empréstimo: Recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade; por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor). Financiamento: Recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à sua finalidade, por exemplo, compra de um automóvel, imóvel. No financiamento, sempre existirá um bem ou serviço vinculado à liberação dos recursos financeiros, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados (CASTELO BRANCO, 2005, p. 157). Ainda segundo Castelo Branco (2005), no financiamento sempre existirá um bem ou um serviço vinculado (alienado) à liberação dos recursos financeiros, enquanto no empréstimo é exigida apenas uma garantia de devolução dos recursos. Os empréstimos de curto e médio prazo caracterizam-se, normalmente, por serem saldados em até 3 anos. Os problemas relacionados com tais tipos de empréstimos são aqueles já abordados em anuidades e não serão vistos aqui. Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial porque existem várias modalidades de restituição do principal e dos juros. Tais empréstimos, em geral, têm condições previamente estipuladas por contratos entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor (MATHIAS; GOMES, 2004, p. 309). Na Unidade anterior, estudamos como saldar uma dívida mediante uma série de pagamentos. Os problemas tinham a duração de alguns meses ou anos, constituindo-se nos problemas que chamamos de curto prazo. 88 105 Nesta Unidade estudaremos os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros (ASSAF NETO, 2003, p. 348). Nesses sistemas, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor, ou seja, consideraremos apenas o regime de juros compostos. 6.1 Definições básicas Segundo Assaf Neto (2003), os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, principalmente, da maneira como o principal e os encargos financeiros serão restituídos ao credor do capital. É importante, então, que sejam definidos os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos, para maior clareza no desenvolvimento da Unidade. Mutuante ou credor: é aquele que concede o empréstimo ou financiamento; Mutuário ou devedor: é aquele que recebe o empréstimo ou financiamento; Taxa de juros: [...] é a taxa de juros contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do empréstimo ou não, dependendo das condições adotadas (MATHIAS; Gomes, 2004, p. 310); Encargos Financeiros: [...] representam os juros da operação, caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o credor (ASSAF NETO, 2003, p. 349). É importante destacar que os encargos podem ser prefixados ou pós-fixados. IOF: imposto sobre operações financeiras (imposto sobre as operações de Crédito, Câmbio e Seguros e operações relativas a títulos e valores mobiliários); TAC: Taxa de Abertura de Conta ou Taxa de Abertura de Crédito; 89 106 Prazo de utilização: [...] é o intervalo de tempo durante o qual o financiamento é transferido do credor para o devedor. Quando o empréstimo é transferido de uma só vez, dizemos que o prazo é unitário (ZENTGRAF, 2007, p. 328). Prazo de carência: Segundo Assaf Neto (2003), muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferimento entre a data em que foi realizado o empréstimo e a do início dos pagamentos. Segundo Mathias e Gomes (2004), o prazo de carência corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. A carência significa a postergação só do principal, não sendo incluídos, necessariamente, os juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais estabelecidas, serem pagos ou não durante a carência. É mais comum o pagamento dos juros durante o período de carência. Na hipótese de se decidir pela carência dos juros, os mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de amortização de principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de pagamento (ASSAF NETO, 2003, p. 350). Importante: O conceito de carência não é utilizado em anuidades postecipadas, mas apenas em anuidades antecipadas. Parcelas de Amortização: referem-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas (mensais, trimestrais, anuais, etc.). Segundo Castelo Branco (2005), a amortização é o valor que será deduzido do saldo devedor a cada pagamento. Período de Amortização: refere-se ao intervalo de tempo existente entre duas parcelas de amortização. Prazo de amortização: é o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações; Prestação: é composta do valor da amortização acrescido dos juros (encargos) e outros possíveis valores, devidos em um determinado período; Diferimento: adiar, prorrogar. Postergar: adiável, ou o que pode ser adiado. 90 Planilha: é um quadro, padronizado ou não, no qual são colocados os valores referentes ao empréstimo. É constituída de várias colunas, que apresentam, após cada 107 pagamento, a parcela de juros pagos, a amortização, a prestação, os encargos financeiros, as taxas adicionais (IOF, aval, comissões, taxa de abertura de crédito, etc.) e o saldo devedor. Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos (ASSAF NETO, 2003, p. 348). Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização; Saldo devedor: é o estado da dívida, ou seja, do que é devido, em um determinado instante de tempo, após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. 6.2 Sistema de amortização constante (SAC) Segundo Mathias e Gomes (2004), a característica principal desse sistema é que a devolução do principal será feita em n parcelas iguais (ou constantes), incidindo os juros sempre sobre o saldo devedor. Esse sistema foi amplamente utilizado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), a partir de 1971, que o adotou nos financiamentos de compra da casa própria. A amortização é calculada dividindo-se o valor do empréstimo (ou financiamento) pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 230). Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais (SAMANEZ, 2006, p. 155) SAC, sem prazo de carência Exemplo 1: Um empréstimo de R$ ,00 será pago em 4 prestações anuais, adotando-se o sistema SAC. O Banco cobra uma taxa de juros de 10% a.a. Para essas condições, monte a planilha para o empréstimo. 91 108 Solução: A amortização anual é = = Ano (n) Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Total Em conseqüência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética (ASSAF NETO, 2003, p. 350), de razão igual ao produto da taxa de juros pela parcela de amortização SAC, com prazo de carência Como observado anteriormente, a carência significa a postergação exclusivamente do principal. Os juros (ou outros valores que porventura surjam no problema) podem ser pagos, ou não, durante a carência. Ao se supor uma carência, então, podem ocorrer três situações diferentes: a) Os juros serem pagos durante a carência; Fonte:< t-br/clipart/download.aspx?>. Acesso em 01 dez b) Os juros serem capitalizados durante a carência e pagos totalmente no vencimento da primeira amortização; c) Os juros serem capitalizados durante a carência e acrescidos ao saldo devedor, passando a fazer parte do valor da amortização. A seguir serão apresentados três exemplos, um para cada uma das possibilidades. Os dados dos problemas são idênticos para que você possa fazer a comparação entre eles. 92 1ª Possibilidade: Juros pagos durante a carência |
O capital de r$530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3%ao mês.
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