Qual a probabilidade de obter soma 6 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números pares?

Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja [tex]7[/tex]?
• Ana analisa a situação e diz:
– Há [tex]36[/tex] casos possíveis para os resultados, dos quais [tex]6[/tex] são favoráveis. Logo, a probabilidade de dar a soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{6}[/tex].
• Beatriz discorda:
– Ana, como os dados são idênticos, não faz sentido distinguir os resultados [tex](1, 2)[/tex] e [tex](2, 1)[/tex], por exemplo. Logo, há apenas [tex]21[/tex] casos possíveis, dos quais [tex]3[/tex] são favoráveis. A probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é, portanto, [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].
• Cecília discorda de ambas:
– Vocês duas estão complicando a situação sem necessidade…
Há [tex]11[/tex] somas possíveis (de [tex]2[/tex] a [tex]12[/tex]). Assim, a probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{11}[/tex].

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Qual é a probabilidade de sair a soma 6 no lançamento de dois dados?
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja 6?
Qual a probabilidade de se obter soma 6 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares?
Qual a probabilidade de cair 6 em dois dado?

Qual das três está certa?

Adaptado do PAPMEM, 2019.

Lembrete:

A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:

Probabilidade[tex]\;\;[/tex] =número de casos favoráveis.número de casos possíveis

Solução

► Vamos inicialmente acompanhar o raciocínio da Cecília.

É claro que podemos definir o espaço amostral do experimento de "lançar dois dados equilibrados e idênticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como [tex]\Omega_1=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}[/tex], já que não estamos interessados nos números propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema é que esse espaço não é equiprovável!
Observe que temos apenas uma maneira de obtermos soma [tex]2[/tex], saindo [tex]1[/tex] nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma [tex]5[/tex], saindo "[tex]1[/tex] e [tex]4[/tex]" e "[tex]2[/tex] e [tex]3[/tex]", entre outras possibilidades. Com isso, [tex]P(\{2\})\ne P(\{5\})[/tex] e [tex]\Omega_1[/tex] não é equiprovável. Dessa forma, não podemos utilizar a razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis" e, portanto, Cecília não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Beatriz.

O espaço amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lançados.

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\
\hline
2&\xcancel{2\text{ e }1}&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\
\hline
3&\xcancel{3\text{ e }1}&\xcancel{3\text{ e }2}&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\
\hline
4&\xcancel{4\text{ e }1}&\xcancel{4\text{ e }2}&\xcancel{4\text{ e }3}&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\
\hline
5&\xcancel{5\text{ e }1}&\xcancel{5\text{ e }2}&\xcancel{5\text{ e }3}&\xcancel{5\text{ e }4}&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\
\hline\
6&\xcancel{6\text{ e }1}&\xcancel{6\text{ e }2}&\xcancel{6\text{ e }3}&\xcancel{6\text{ e }4}&\xcancel{6\text{ e }5}&6\text{ e }6\\
\hline
\end{array}[/tex]

Temos, de fato, [tex]21[/tex] casos possíveis, mas o espaço amostral da Beatriz não é equiprovável!
Observe que a hipótese de que os dois dados são equilibrados nos garante que o experimento em questão é aleatório, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem idênticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma [tex]7[/tex]? NÃO!
Assim, por exemplo,
▬ temos apenas uma maneira de obtermos [tex] 1 \text{ e }1[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro dado e [tex]1[/tex] no segundo dado;
▬ mas temos duas maneiras de obtermos [tex] 1 \text{ e }2[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro e [tex]2[/tex] no segundo dado e [tex]2[/tex] no primeiro e [tex]1[/tex] no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; são situações diferentes que ocorrem: [tex]1[/tex] no dado com marquinha e [tex]2[/tex] no outro dado e [tex]2[/tex] no dado com marquinha e [tex]1[/tex] no outro.)
Assim, Beatriz também não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Ana:

Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.

Qual é a probabilidade de sair a soma 6 no lançamento de dois dados?

No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%.

Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja 6?

Para que a soma seja 6, precisamos das seguintes faces: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}. E considerando que o espaço amostral do lançamento de dois dados e representado pela multiplicação 6 * 6 = 36, temos a seguinte probabilidade: A probabilidade é de 5/36, aproximadamente 13,88% de chance.

Qual a probabilidade de se obter soma 6 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares?

➪ As chances de dar soma 6 são : (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5) = 5 Possibilidades .

Qual a probabilidade de cair 6 em dois dado?

A probabilidade, em cada lançamento, de ambos os dados terem o número 6 é , pois temos apenas uma combinação (6 e 6) do total de possibilidades (que são 36). Portanto, em 8 lançamentos, temos que a probabilidade total é: Ou cerca de 22.2%.