Qual o valor do coeficiente angular de uma reta que passa pelos pontos?

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O coeficiente angular é a constante que multiplica a variável x em uma função do 1° grau:

Para calcularmos o coeficiente angular de uma função afim devemos pegar dois pontos (x. y) da função, como abaixo:

E a fórmula do coeficiente angular é a seguinte:

Entendendo melhor cada item da fórmula do coeficiente angular:

• a é a nosso coeficiente angular;
• ∆x é a variação no eixo x;
• ∆y é a variação no eixo y

Uma informação super importante: o coeficiente angular é adimensional, ou seja não tem uma unidade para representá-lo.

Para que serve?

O coeficiente angular nos diz a inclinação da reta, então, quanto maior o coeficiente angular maior a inclinação da reta que representa a função, beleza?

Mais uma informação bem importante: Se o coeficiente angular é positivo a função é crescente, se o coeficiente angular é negativo a função é decrescente.

Bora fazer um exemplo pra deixar tudo bem claro!

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (2,4) e (6,12).

A equação reduzida da reta é a que nos permite descrever de forma algébrica o comportamento da reta. Analisando essa equação, é possível obter informações importantes sobre a reta, como o seu comportamento, se ela é crescente ou decrescente, e também o momento em que a reta corta o eixo y.

A equação reduzida da reta é a y = mx + n, em que m e n são números reais. O m é conhecido como coeficiente angular, e, ao analisá-lo, é possível saber mais sobre a inclinação da reta. O n é o coeficiente linear, sendo o valor de y para o ponto em que a reta corta o eixo vertical.

Leia também: Qual é a equação geral da circunferência?

A equação reduzida da reta

A geometria analítica é a área da matemática que analisa de forma algébrica elementos da geometria, como ponto, reta, circunferência, cônicas, entre outros. Essa representação da reta por meio de uma equação pode ser feita de mais de uma maneira, uma delas é a equação reduzida. A equação reduzida da reta é a expressão:

y = mx + n
m → coeficiente angular
n → coeficiente linear

As variáveis x e y são pontos do plano cartesiano (x, y) que pertencem à reta. Já m é o coeficiente angular, que indica a inclinação da reta em relação ao eixo x, e n é o coeficiente linear, que indica o ponto em que o gráfico da reta intercepta o eixo y.

Exemplos:

a) y = 2x – 5
m = 2 e n = -5

b) y = – x + 1
m = -1 e n = 1

c) y = 3x
m = 3 e n = 0

d) y = -4
m = 0 e n = -4

Veja também: O que é um par ordenado?

Coeficiente angular

Para encontrar a equação da reta, precisamos aprender a encontrar o coeficiente angular. O coeficiente angular nos indica muito sobre a reta, pois é com base nele que podemos analisar sua inclinação em relação ao eixo x.

Para encontrar o valor do coeficiente angular conhecendo o ângulo que a reta faz com o eixo x, basta calcular a tangente desse ângulo:

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta:

a)

m = tg 45º
m = 1

b)

m = tg 150º
m = -√3/3

A segunda maneira de encontrar o coeficiente angular de uma reta leva em consideração a outra forma de calcular a tangente. Para aplicar esse método, é necessário conhecer dois pontos pertencentes à reta.

Sabemos que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do triângulo, sendo assim, para calcular o coeficiente angular, temos que:

Sabemos que m = tgα, mas a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, então, temos que:

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 3) B(4, 7).

Existem três classificações possíveis para a reta, ela pode ser crescente, constante ou decrescente. Podemos identificar o comportamento da reta de acordo com o valor do seu coeficiente angular.

Quando m > 0, ou seja, quando o coeficiente angular é positivo, a reta será crescente.

Na reta crescente, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumentará.

Quando m = 0, a reta será constante.

Na reta constante, independentemente do valor de x, o valor de y é sempre o mesmo.

Quando m < 0, ou seja, quando o coeficiente angular é negativo, a reta será decrescente.

Quando uma reta é decrescente, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui.

Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?

Coeficiente linear

O coeficiente linear n nos indica o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Sabemos que, nesse ponto, x = 0. Como a equação é y = mx + n, temos que:

x = 0
y = m · 0 + n
y = n

O que significa que o ponto em que a reta corta o eixo y é sempre o ponto (0, n).

Como calcular a equação reduzida da reta?

Encontrar a equação reduzida da reta é buscar o valor de m e n na equação y = mx + n.

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B (2, 4).

• 1º passo: encontrar o coeficiente angular.

• 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para o coeficiente angular.

y = 3x + n

• 3º passo: escolher um dos pontos para substituir na equação e encontrar o valor de n.

A (1, 1)

1 = 3 · 1 + n
1 = 3 + n
1 – 3 = n
-2 = n
n = -2

• 4º passo: escrever a equação reduzida substituindo os valores de m e n encontrados:

y = 3x – 2

Veja também: Qual é a equação geral da reta?

Conhecendo a equação, é possível também representar no plano cartesiano a reta, para isso, basta encontrar dois pontos da equação. Um deles é fácil de identificar, que é o ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, o ponto (0, n); já o outro será o ponto (x, 0), em que x é um número real.

Exemplo:

y = 2x + 4

O primeiro ponto é A(0, 4).

Já o segundo será o ponto em que y = 0, ou seja:

0 = 2x + 4 -2x = 4 (-1) 2x = -4 x = -4/2

x = -2

B (-2, 0)

Por fim, basta representar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Udesc) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é:

A) 4 B) -5 C) 3 D) 2

E) 5

Resolução

Alternativa E

Calculando o valor do coeficiente angular m, temos que:

Agora, vamos calcular o coeficiente linear:

y = mx + n
y = 3x + n

Escolhendo o ponto A(1,5):

5 = 3 · 1 + n
5 = 3 + n
5 – 3 = n
2 = n
n = 2

A soma m + n = 3 + 2 = 5

Questão 2 – A equação da reta a seguir é:

A) y = 2x – 3 B) y = x + 1 C) y = – 2x + 3 D) y = 3x – 1

E) y = 2 – 3x

Resolução

Alternativa C

Dada a equação y = mx + n, sabemos que n = 3, pois a reta corta o eixo y no ponto (0, 3). Além disso, outro ponto que pertence à reta é o (1, 1), logo, calcularemos m.

Dessa forma, a equação da reta é y = – 2x + 3.

Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m).

Considere uma reta s não vertical que passa pelo ponto B (x0, y0) de coeficiente igual a m.

O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual:

m = ∆y = y – y0 

m = y – y0

y – y0 = m (x – x0)

P(x0, y0) = (1/4,-3,2)

y – y0 = m (x – x0)

8y + 12 = -4x + 1
     4                4

m = yB - yA
        xB – xA

m = 2 – 8 = - 6 = - 2 

y – y0 = m (x – x0)

2x + y – 10 = 0.

Publicado por Danielle de Miranda

Como calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos?

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