Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 5 pessoas?

(Colégio Pedro II - 2018 - Professor de Matemática) O problema a seguir explora uma ideia recorrente no estudo de processos de contagem: 

Em um grupo de 3 professores e 8 estudantes, deseja-se formar comissões de 5 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com pelo menos um professor? 

Um estudante selecionou um dentre os três professores e, a seguir, quatro dentre as 10 pessoas restantes. A resposta que apresentou foi 3. C10,4.

Na sua resolução, o estudante contou mais de uma vez algumas comissões. 

Para chegarmos à solução correta do problema proposto com base na resposta desse estudante, devemos subtrair do resultado apresentado por ele a expressão 

(A) 2 ∙ C8,2 + C8,3.
(B) 3 ∙ C8,2 + C8,3.
(C) 3 ∙ C8,2 + 2 ∙ C8,3.
(D) 2 ∙ C8,2 + 3 ∙ C8,3.

Solução: questão bem interessante de análise combinatória do concurso de professor de matemática para o Colégio Pedro II no Rio de Janeiro. Podemos resolvê-la de diferentes maneiras, vamos adotar como estratégia de resolução seguir o comando da questão, ou seja, corrigir a resposta dada pelo estudante.  É uma questão bem inteligente de análise combinatória que foge o padrão de questões sobre o tema e que, portanto, vale a pena fazermos uma análise mais criteriosa.

Nesta questão, temos que trabalhar com a fórmula das combinações:

C n,p = n! / p!(n-p)!

Vamos considerar que do grupo formado por 3 professores e 8 estudantes, os professores sejam: A, B e C.

Repare que o aluno encontrou 3 x C10,4, provavelmente ele fez o seguinte:

(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

E encontrou um total de 3 . C10,4.   Desse modo, ele realmente repetiu contagens, vamos encontrá-las passo a passo analisando os três blocos acima:

(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Até aqui tudo bem, ele sempre teve um professor no mínimo nas comissões, às vezes dois, às vezes três.

(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Aqui já aparecem as primeiras duplicações, são elas:  

B e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2

Ambas precisam ser excluídas, pois já foram contadas no bloco anterior.  Vamos para o último bloco.

(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Aqui temos novas repetições:

C e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

C e B e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2

Temos que subtrair do resultado apresentado pelo estudante a seguinte expressão: 2.C8,2 + 3.C8,3.  Alternativa correta é a letra d)

Temos uma outra forma de resolver essa questão, basta fazer o cálculo correto das comissões, depois subtrair a quantidade encontrada pelo aluno pela quantidade correta e finalmente confrontar com as opções de resposta.  O aluno encontrou 3 . C10,4 = 3. 210 = 630 comissões.

Para calcularmos as comissões de 5 pessoas formadas por pelo menos um professor, temos os seguintes cenários:

1 Professor + 4 alunos = C3,1 x C8,4 = 3 x 70 = 210

2 Professores + 3 alunos = C3,2 x C8,3 = 3 x 56 = 168

3 Professores + 2 alunos = C3,3 x C8,2 = 1 x 28 = 28

Total = 210 + 168 + 28 = 406 comissões.

A diferença: 630 - 406 = 224  é a mesma quantidade fornecida pela opção  d) 2.28 + 3.56 = 56 + 168 = 224.

Curiosidade: além desta última, há uma outra maneira de encontrar a quantidade de comissões formadas por pelo menos um professor. A ideia é calcular o seguinte:

(Comissões formadas por pelo menos um professor) + (Comissões sem os professores) = Total de comissões sem restrição

Logo, 

Comissões formadas por pelo menos um professor = (Total de comissões sem restrição) - (Comissões sem os professores)

Comissões formadas por pelo menos um professor = C11,5 - C8,5 = 462 - 56 = 406. 

Arquivo recomendado para revis�o: An�lise Combinat�ria.

1 - A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comiss�es de quatro membros podem ser formadas, com a condi��o de que em cada comiss�o figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?

SOLU��O:

Os agrupamentos s�o do tipo combina��es, j� que a ordem dos elementos n�o muda o agrupamento.

O n�mero procurado � igual a:

C6-2,4-2 = C 4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

Observe que raciocinamos com a forma��o das comiss�es de 2 membros escolhidos entre 4, j� que duas posi��es na comiss�o s�o fixas: a do Presidente e do Vice.

2 � A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comiss�es de dois membros podem ser formadas, com a condi��o de que em nenhuma delas figure o Presidente e o Vice?

SOLU��O:

Ora, retirados o Presidente e o Vice, restam 6 � 2 = 4 elementos. Logo, O n�mero procurado ser� igual a:

C6-2,2 = C4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

3 - Numa assembl�ia de quarenta cientistas, oito s�o f�sicos. Quantas comiss�es de cinco membros podem ser formadas incluindo no m�nimo um f�sico?

SOLU��O:

A express�o �no m�nimo um f�sico� significa a presen�a de 1, 2, 3, 4 ou 5 f�sicos nas comiss�es.

Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comiss�es n�o possuem f�sicos e subtrair este n�mero do total de agrupamentos poss�veis.

Ora, existem C40,5 comiss�es poss�veis de 5 membros escolhidos entre 40 e, existem C40-8,5 = C32,5 comiss�es nas quais n�o aparecem f�sicos.

Assim, teremos:

C40,5 - C32,5 = 456 632 comiss�es. Observe que Cn,k = n!/(n-k)!.k!

4 - Ordenando de modo crescente as permuta��es dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupar� a permuta��o 68275?

SOLU��O:

O n�mero 68275 ser� precedido pelos n�meros das formas:

a) 2xxxx, 5xxxx que d�o um total de 4! + 4!� = 48 permuta��es

b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que d�o um total de 3.3! = 18 permuta��es

c) 6825x que d� um total de 1! = 1 permuta��o.

Logo o n�mero 68275 ser� precedido por 48+18+1 = 67 n�meros. Logo, sua posi��o ser� a de n�mero 68.

5 - Sabe-se que o n�mero de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular � dado pela f�rmula

P�n = (n - 1)! . Nestas condi��es, de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas?

SOLU��O:

Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas, podemos considerar que os agrupamentos poss�veis ser�o das seguintes formas:

a) (AB)XYZWK.......P�n = (6-1)! = 120

b) (BA)XYZWK.......P�n = (6-1)! = 120

Logo o n�mero total ser�: 120+120 = 240.

6 - De quantas maneiras seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

SOLU��O:

P�n = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

 7 - Numa reuni�o de sete pessoas h� nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas?

SOLU��O:

Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solu��o � encontrada calculando-se:

A9,7 = 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

Nota: observe que An,k cont�m k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A10,2 = 10.9 = 90, A9,3 = 9.8.7 = 504, etc.

Poder�amos tamb�m resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte racioc�nio:

a primeira pessoa tinha 9 op��es para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a s�tima, 3. Logo, o n�mero total de possibilidades ser� igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

8 - Quantos s�o os anagramas da palavra UNIVERSAL que come�am por consoante e terminam por vogal?

SOLU��O:

A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N, no in�cio da palavra, podemos dispor em correspond�ncia, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:

(N...U)�� (N...I)����� (N...E)������ (N....A)

Podemos fazer o mesmo racioc�nio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos poss�veis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O n�mero pedido ser�, pois, igual a

20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.

9 - Numa reuni�o est�o doze pessoas. Quantas comiss�es de tr�s membros podem ser formadas, com a condi��o de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?

SOLU��O:

Como um dos 3 integrantes � sempre A, resta determinar os dois outros, com a condi��o de que n�o seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presen�a garantida) e B (que n�o pode participar junto com A) restam 10 pessoas que dever�o ser agrupadas duas a duas. Portanto, o n�mero procurado � igual a C10,2 = (10.9)/(2.1) = 45.

10 - Numa assembl�ia h� cinq�enta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comiss�es de sete deputados podem ser formadas com quatro membros do governo e tr�s� da oposi��o?

SOLU��O:

Escolhidos tr�s deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comiss�es quantas s�o as combina��es dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto �: C31,4 . Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o n�mero total de comiss�es � igual a C26,3 . C31,4 �= 81.809.000, ou seja, quase oitenta e dois milh�es de comiss�es distintas!.

11 - Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

SOLU��O:

Observe que a palavra ARARA possui 5 letras por�m com repeti��o. Se as 5 letras fossem distintas ter�amos

5! = 120 anagramas.Como existem letras repetidas, precisamos �descontar� todas as trocas de posi��es entre letras iguais. O total de anagramas ser�, portanto, igual a� P = 5!/(3!.2!) = 10.

� �bvio que podemos tamb�m calcular diretamente usando a f�rmula de permuta��es com repeti��o.

12 � De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matem�tica, 3 de F�sica e 2 de Qu�mica em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?

SOLU��O:

Dentre os 5 livros de Matem�tica, podemos realizar 5! permuta��es distintas entre eles. Analogamente, 3! para os livros de F�sica e 2! para os livros de Qu�mica.

Observe que estes 3 conjuntos de livros podem ainda serem permutados de 3! maneiras distintas entre si. Logo, pela regra do produto, o n�mero total de possibilidades ser�:

N = [(5!).(3!).(2!)].(3!) = 120.6.2.6 = 8640 modos distintos.

Agora resolva estes:

1 � Com seis homens e quatro mulheres, quantas comiss�es de quatro pessoas podemos formar?

2 � Com seis homens e quatro mulheres, quantas comiss�es de cinco pessoas podemos formar, constitu�das por dois homens e tr�s mulheres?

3 - De quantos modos podemos dispor cinco livros de Matem�tica, tr�s de F�sica e dois de Qu�mica em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto e na ordem dada no enunciado, fiquem sempre juntos?

Gabarito: 1)210���� 2)60���� 3)1440.

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PAULO MARQUES - Feira de Santana - BA � 09/01/2001.

Quantos Comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas?

Quantas Comissões de 5 pessoas podem ser formadas?

Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formadas?

Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 6 pessoas?