Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?

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Quantos lados tem um polígono regular que a medida do ângulo interno é o triplo do ângulo externo?
Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do esterno?
Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno?
O que é ângulo interno é externo de um polígono?

Ângulo externo em polígonos regulares

Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.

Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:

$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$

É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.

5.1

Exemplo: ângulos externos de um octógono regular

Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:

\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}

5.2

Exemplo: determinar o número de lados

Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.

Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula

$$a_e = \dfrac{360}{n},$$

substituindo $a_e = 20$:

\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}

Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.

Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.

5.3

Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares

Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?

Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:

\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}

Podemos escrever que

\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}

E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:

\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}

Podemos escrever que

\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}

Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,

\begin{align}
\large \frac {S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}

Logo, o polígono é um hexágono.

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Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
Diagonais e soma dos ângulos internos de um polígono.
 Soma dos ângulos internos de um polígono
Si = 180 (n – 2)
 Soma dos ângulos externos de um polígono
A soma dos ângulo externos de um polígono sempre é igual a 360°.
Se = 360°
 Número de diagonais de um polígono
2
)3( 

nnd
Exercícios:
1. Qual o número de diagonais do octógono.
a) 30
b) 50
c) 20
d) 14
e) 9
2. Qual é o polígono em que o número de diagonais é o triplo do número de lados?
a) hexágono
b) octógono
c) eneágono
d) decágono
e) pentadecágono
3. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é de 900°. Calcule o número
de diagonais desse polígono.
a) 5
b) 15
c) 14
d) 9
e) 28
4. Três polígonos regulares têm respectivamente n, n + 1 e n + 2 lados. Calcule quantos
lados têm cada um sabendo que a soma de todos os ângulos internos vale 1620°.
a) 3, 4 e 5
b) 4, 5 e 6
c) 5, 6 e 7
d) 6 , 7 e 8
e) 7 , 8 e 9
1
Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
5. Calcular a soma dos ângulos internos e a dos ângulos externos de decágono.
6. Qual é o polígono convexo cujo soma dos ângulos internos é 1800º?
7. A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lado é 2340º. Determinar n.
8. Ache o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080º.
9. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo aumentada da soma dos
ângulos externos desse polígono é igual a 1620 graus. Qual é o polígono?
10. A soma dos ângulos internos de um polígono excede a soma de seus ângulos
externos de 540º. Qual o número de lados desse polígono?
11. Qual o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos excede a soma dos
ângulos externos de um ângulo de meia volta?
12. Dê o número de lados do polígono convexo no qual a soma dos ângulos interno
excede de 720º a soma dos ângulos externos. 
 
13. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é igual a soma dos
ângulos externos? 
 
14. O polígono regular cujo ângulo interno mede 162º é ..........................................
 
15. Quantos lados tem um polígono regular convexo cujo ângulo interno mede 144º?
 
16. Quanto vale o ângulo interno de um polígono regular de 9 lados? 
 
17. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo exterior mede 15º?
18.Qual é o polígono regular cujo ângulo externo mede 45º?
19. Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 156º?
20. Qual é o polígono regular cujo ângulo interno é igual ao ângulo externo ?
21. Quanto]s lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do externo?
22. A diferença entre o ângulo interno e o externo de um polígono regular convexo é de
60º. Quantos lados tem o polígono?
23. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 1260º. Determine o
valor do ângulo externo .
24. Qual é o polígono regular cujo ângulo externo aumentado de um ângulo reto é
igual ao seu ângulo interno ?
2
Projeto Jovem Nota 10
Diagonais e Soma dos Ângulos Internos de um Polígono – Lista A
Professor Marco Costa
GABARITO:
1. C 2. C 3. C 4. C
5. 1440º e 360º
6. Dodecágono
7. 15; 8. Octógono
9. Eneágono 10. 7
11. Pentágono 12. 8
13. Quadrilátero 14. Icoságono
15. 10 16. 140
17. 24 18. Octógono
19. 15 20. Quadrado
21. 6 22. 6
23. 40ª 24. Octógono
3

Quantos lados tem um polígono regular que a medida do ângulo interno é o triplo do ângulo externo?

Essa é a resposta. Esse polígono tem 8 lados.

Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno é o dobro do esterno?

Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono? Logo, o polígono é um hexágono.

Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno?

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Regular.

O que é ângulo interno é externo de um polígono?

Elementos do Polígono Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.