Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é procurar o menor número múltiplo de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrar o MMC entre dois números, podemos fazer uma lista dos múltiplos de cada um deles até achar um que seja comum a ambos, ou então utilizar o método de decomposição em fatores primos ou até mesmo o de fatoração sucessiva. Existem propriedades importantes para o mínimo múltiplo comum. Show
Leia também: Dicas e macetes para cálculos de divisão Tópicos deste artigo
Resumo sobre MMC
Videoaula sobre mínimo múltiplo comum (MMC)O que é o MMC?Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é identificar o menor número inteiro diferente de zero e múltiplo de ambos simultaneamente. Para compreender o que é o MMC, é fundamental saber o que são os múltiplos de número. Conhecemos como múltiplos de um número o produto obtido quando multiplicamos um número natural por outro número natural. Exemplo 1: M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…} Note que o conjunto dos números múltiplos de 12 é formado pelos resultados de 12 vezes 0, 12 vezes 1, 12 vezes 2, e assim sucessivamente. O conjunto de múltiplos é infinito. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Exemplo 2: Vejamos agora os múltiplos de 14: M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…} Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses dois números (12, 14), para isso, basta analisar as duas listas de múltiplos e procurar o menor número inteiro diferente de zero e que seja múltiplo dos dois. MMC(12, 14) M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…} M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…} MMC(12, 14) = 84 Leia também: Macetes e dicas de matemática para o Enem Como calcular o MMC?Para calcular o MMC entre dois ou mais números, existem vários métodos. Os que mais se destacam são três, apresentados a seguir.
O primeiro deles é o que nós utilizamos anteriormente para encontrar o MMC entre 12 e 14: escrever a lista de múltiplo de cada um dos números e encontrar o menor múltiplo em comum entre eles. Exemplo: MMC(10, 15) M(10) = {0, 10, 20, 30…} M(15) = {0, 15, 30…} MMC(10, 15) = 30 Acontece que esse método é pouco prático quando há mais números, ou então, quando os números são maiores, muitas vezes encontrar o MMC escrevendo a lista de múltiplos de cada um dos números pode ser bastante trabalhoso. 2º método - decomposição em fatores primosO método de decompor os números em fatores primos facilita encontrar os múltiplos em comum quando os números são maiores. Os números que não são primos podem ser escritos como o produto entre números primos. Esse método consiste em reescrever os números na forma fatorada e multiplicar os fatores com os seus maiores expoentes. Exemplo: Encontre o MMC(36, 40): Primeiro vamos escrever esses números na sua forma fatorada: 36 = 2² · 3² 40 = 2³ · 5 Os fatores encontrados na decomposição foram 2, 3 e 5. Vamos realizar a multiplicação entre eles com os seus respectivos exponentes. Note que o 2 apareceu em ambos, nesse caso, escolhemos o maior expoente: MMC(36, 40) = 2³ · 3² · 5 MMC(36, 40) = 8 · 9 · 5 MMC(36, 40) = 360
O terceiro método é o mais utilizado e é conhecido como método prático do MMC ou método das divisões sucessivas. Como o nome sugere, nele se realiza divisões sucessivas com esses números simultaneamente para encontrar os fatores cujo o produto será o MMC. Exemplo: Calcule MMC(48, 84). 1º passo: montar o algoritmo e encontrar o menor número primo que divide pelo menos um dos dois números. 2º passo: realizar a divisão desses números por 2 e escrever o resultado logo abaixo: 3º passo: com os resultados encontrados, repetiremos o processo, dividindo-os novamente por 2: 4º passo: note que 2 não divide o 21, mas ainda divide o 12, então escreveremos o 2 como fator, mas realizaremos somente a divisão que tem resultado inteiro, repetindo o processo até que não tenha mais nenhum número divisível por 2. 5º passo: encontraremos agora o próximo número primo que divide qualquer um dos dois números, que, no caso, é o 3, e realizaremos a divisão. 6º passo: como 3 não divide mais nenhum dos dois números, então encontraremos o próximo número que divide qualquer um dos dois números, que no caso é 7. 7º passo: agora que não é mais possível dividir, calculamos o produto entre os números encontrados para encontrar o MMC. Então, o MMC(48, 84) = 336. Leia também: Três conceitos básicos de matemática para o Enem Propriedades do MMCExistem algumas propriedades importantes do MMC: 1ª propriedade: o MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto entre esses dois números. Exemplo: MMC(10, 9) Note que os divisores de 10 são D(10) = {1, 2, 5, 10} e os divisores de 9 são {1, 3, 9}. Sendo assim, não existe nenhum divisor comum entre esses números, logo, temos que: MMC(10, 9) = 10 × 9 = 90 2ª propriedade: quando um dos números de que queremos encontrar o MMC é múltiplo do outro, então o MMC entre esses números será o maior deles. Exemplo: MMC(4, 12) M(6) = {0, 4, 8, 12 , 18...} M(18) = {0, 12…} MMC(4, 12) = 12 MMC em fraçõesUtilizamos o MMC para igualar os denominadores de frações, a fim de que seja possível calcular a adição ou a subtração entre duas frações. Para calcular a soma de duas frações com denominadores distintos, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores, a fim de escrever frações equivalentes que possuam o mesmo denominador e, assim, ser possível realizar a soma. Exemplo: Primeiro encontraremos o MMC(9, 5). Como eles são primos entre si, basta multiplicar 9 × 5 = 45, então, temos que: MMC(9, 5) = 45 Encontrado o MMC, agora precisamos analisar as frações. Na primeira, para que o denominador seja igual a 45, é necessário multiplicar por 5 tanto o numerador quanto o denominador. Veja também: Três erros comuns na simplificação de fração algébrica Diferença entre MMC e MDCConhecemos o mínimo múltiplo comum (MMC), mas existe também o máximo divisor comum (MDC). Como o nome sugere, o máximo divisor comum é o maior número divisor de dois ou mais números ao mesmo tempo. Exemplo: MDC(18, 27) Dessa vez, escreveremos a lista de divisores de cada um desses números: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(27) = {1, 3, 9, 27} MDC(18, 27) = 9
Exercícios resolvidos sobre mínimo múltiplo comum (MMC)Questão 1 - (IFG 2019) Antônio realiza atividades físicas regularmente, entre as modalidades de corrida, ciclismo e natação. Ele corre a cada três dias, pedala dia sim e dia não, e nada de quatro em quatro dias. Certa vez, coincidiu de realizar essas três atividades físicas no mesmo dia. É correto afirmar que essa coincidência voltará a ocorrer daqui a A) 06 dias. B) 08 dias. C) 10 dias. D) 12 dias. Resolução Alternativa D Queremos o MMC(2, 3, 4). Listando os múltiplos de cada um deles até encontrar o primeiro que seja comum aos três, temos que: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12...} M(4) = {0, 4, 8, 12…} Então, o MMC(2, 3, 4) = 12. Questão 2 - Em um conselho regional, o presidente é eleito a cada 4 anos, o secretário, a cada 3 anos, e o coordenador geral, a cada 2 anos. Se em 2020 houve eleições para os três cargos simultaneamente, das opções abaixo, em que ano isso ocorrerá novamente? A) 2028 B) 2030 C) 2032 D) 2034 Resolução Alternativa C Calculando o MMC(4, 3, 2), temos que: M(4) = {0, 4, 8, 12…} Então, temos que: MMC(4, 3, 2) = 12. Desse modo, a eleição para esses 3 cargos ocorrerá simultaneamente em 12 anos, 2020 + 12 = 2032. Por Raul Rodrigues de Oliveira |