A sequência numérica abaixo pode ser definida por uma expressão algébrica que relaciona o valor

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Lúcia notou que cada número da sequência [tex]1 \, , \, 3 \, , \, 6 \, , \, 10 \, , \, \cdots [/tex] pode ser modelado por meio de um conjunto de bolinhas que, dispostas convenientemente, formam um triângulo, conforme ilustra a figura mostrada abaixo.

Seguindo o mesmo padrão, quantas bolinhas terá o triângulo associado ao décimo termo dessa sequência numérica?

Solução 1

A partir da construção dos triângulos, percebemos que a sequência numérica observada por Lúcia pode ser assim definida:

[tex]\qquad 1^\circ[/tex] termo: [tex]1[/tex];
[tex]\qquad 2^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 = 3[/tex];
[tex]\qquad 3^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 = 6[/tex];
[tex]\qquad 4^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 = 10[/tex];
[tex]\qquad 5^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15[/tex];
[tex]\qquad 6^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21[/tex];
[tex]\qquad 7^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28[/tex];
[tex]\qquad 8^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36[/tex];
[tex]\qquad 9^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45[/tex];
[tex]\qquad 10^\circ [/tex] termo: [tex]1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.[/tex]

Dessa forma, a representação do décimo termo da sequência tem [tex]55[/tex] bolinhas e, portanto, o décimo termo da sequência é exatamente o [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 55 \, $} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

O décimo termo da sequência em questão terá [tex]55[/tex] bolinhas; pois, se seguirmos a sequência, descobriremos que a base do décimo termo corresponde ao número de [tex]10[/tex] bolinhas, sendo que se forma um triângulo no qual em cada carreira será diminuída uma bolinha.
Portanto:
[tex]\qquad 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 55[/tex] bolinhas no total.

Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Para aprender mais

A soma dos números naturais de [tex]1[/tex] até [tex]n[/tex] é chamada termial de [tex]n[/tex] e representada por [tex]\boxed{n?}[/tex](É com o ponto de interrogação mesmo, viu?). Assim, sendo [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], temos [tex]n?=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+1[/tex].
Dessa forma, poderíamos responder que o décimo termo da sequência de Lúcia é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 10?$}.[/tex]
Uma maneira mais rápida de se calcular esta soma pode ser aprendida na Sala de Estudo A soma [tex]1 + 2 + 3 +\ldots + t[/tex].

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 Sequência numérica é a ação de dar continuidade a algo que já foi definido previamente, obedecendo uma determinada ordem. Quando estudamos sequências é importante descobrir regularidades, para determinar seus termos faltantes ou futuros. Uma sequência numérica deve ser representada entre parênteses e ordenada.

 Exemplos:  (1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;  

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos; 

(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos;

•Sequências recursivas 

Quando determinado termo pode ser calculado em função de termos antecessores, ou seja, quando o termo seguinte depende do termo anterior.

Por exemplo, na sequência (2, 4, 6, 8, …) podemos observar que se trata da sequência dos números pares, portanto, devemos somar dois ao termo anterior para encontrar o próximo, nesse caso, o padrão dessa sequência corresponde a sempre adicionar o 2 para escrevê-la.

Nós também podemos realizar uma subtração como padrão(sempre subtrair 5) numa sequência, veja:

• 20, 15, 10 , 5 ,… (O quinto termo da sequência será o zero)

 Atividade - Observe as sequências abaixo, descubra o padrão e escreva os três próximos termos:

a) 3, 6, 9, 12 … 

Padrão:

As sequências não recursivas são aquelas que não dependem de termos anteriores para determinarmos o próximo termo, pode-se determinar o valor de um elemento da sequência apenas pela sua posição.
Por exemplo, na sequência (7,14,21,28...) não é necessário saber o último termo para determinar o seguinte. Observando atentamente, essa sequência é formada pelos múltiplos de 7.Já no caso da sequência (2,3,5,7,11...)left parenthesis, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 7, comma, 11, point, point, point, right parenthesis olhando atentamente, percebe-se que ela é formada pelos números primos.

Lei de formação de uma sequência numérica

A lei de formação é a regra que estabelece a formação dos termos de uma sequência numérica. A partir da lei de formação é possível obter qualquer termo da sequência numérica.

A lei de formação de uma sequência numérica também é conhecida como fórmula do termo geral.

Vamos adotar a letran para indicar o número da posição do termo na sequência.

Exemplo 1: Qual o termo que vai ocupar a 15ª posição na sequência (2,5,8,11...)?

Exemplo 2: O termo 36 da sequência 2,9,16,23,... é:

a) -15

b) 247

c) 275

d) -36

Exemplo 3: Analise a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...). Sendo n um número natural que indica a posição de cada termo, qual lei de formação que os seus termos obedecem?

a) 2n + 1 

b) 3n  

c) 3n + 1 

d) 3n - 1 

Exemplo 4: Observe as figuras formadas por quadradinhos:

 A 25ª figura terá :

a) 36 quadradinhos

b) 45 quadradinhos

c) 50 quadradinhos

d) 52 quadradinhos

EXERCÍCIOS

2. Observe a sequência formada por palitos de fósforo.

a) Qual a expressão algébrica que relaciona a quantidade de palitos com a quantidade de triângulos?

b) Qual a quantidade de palitos necessária para construir 100 triângulos?

c) E para construir 177 triângulos, quantos palitos são necessários?

3. Observe a sequência formada por bolinhas:

A figura que ocupará a 100ª posição terá quantas bolinhas?

É uma sequência numérica em que a diferença entre um termo qualquer E o seu antecessor é sempre constante estamos nos referindo a?

O que é uma sequência numérica como pode definir a sequência dos números naturais?