Quantas diagonais tem um polígono regular cujo ângulo externo mede 24?

Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.

A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:

a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;

b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;

c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.

Definição de ângulo externo

Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:

Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.

Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos

Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:

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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.

No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.

Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.

5·72 = 360°

Demonstração

Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:

Si + Ai = 180°

Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:

S + A = 180·n

A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:

S + A = 180n

(n – 2)180 + A = 180n

180n – 360 + A = 180n

Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:

180n – 360 + A = 180n

A = 180n + 360 – 180n

A = 360°

Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.

alineonline A soma de todos os ângulos externos de um polígono é igual a 360º. O polígono é regular, então os ângulos têm a mesma medida, que é, segundo informado no enunciado, 24º

Nosso polígono possui 15 ângulos externos. 15 ângulos internos, 15 lados (achando o valor de um, você tem de todos, pois eles são iguais). É o pentadecágono =)

Tem fórmula pra achar diagonal? Tem!

n é o número de lados. Achamos n -  é 15

O pentadecágono possui noventa diagonais.

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Qual é o número de diagonais de um polígono com 24 lados?

Qual o polígono regular cujo ângulo externo mede 24?

Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo central mede 24 graus?

Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo externo mede 20 graus?