Quantos lados possui um polígono regular de um ângulo interno medindo 108?

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Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo interno mede 108?
Qual o polígono regular que possui ângulo interno igual a 108?
Qual polígono regular tem ângulo interno de 180 graus?
Quantos lados tem um polígono regular cujo o ângulo interno mede?

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CORREÇÃO DAS ATIVIDADES DO PET IV
SEMANA 1
PÁGINA 20
1) Observe cada um dos polígonos abaixo. Descubra o nome do polígono, O números de lados e a soma das medidas dos ângulos internos de cada um e registre essas informações no quadro abaixo:
 
 720°
540°
1440°
1260°
1080°
900°
10 lados
9 lados
8 lados
7 lados
6 lados
5 lados
decágono
eneágono
octógono
heptágono
hexágono
pentágono
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão: S = ( n – 2) x 180°
Calculando a soma dos Ângulos internos do exercício temos :
	I- Pentágono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 5 – 2) * 180°
S= 3 * 180°
S= 540°
	II- Hexágono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 6 – 2 ) * 180°
S= 4 *180°
S= 720°
	
III- Heptágono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 7 – 2) * 180°
S= 5 *180°
S= 900°
	IV- Octógono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 8 – 2) * 180°
S= 6 * 180°
S= 1080°
	 v- Eneágono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 9 – 2) * 180°
S= 7 * 180°
S= 1260°
	VI – Decágono
S = ( n – 2) * 180°
S= ( 10 – 2) * 180°
S= 8*180°
S= 1440°
2) Agora complete as lacunas abaixo, para que a frase fique correta:
a) O pentágono é um polígono de 5 lados e de 5 ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é 540° e a soma de seus ângulos externos é 360°. Se o pentágono for regular, cada ângulo interno mede 108° graus e cada ângulo externo mede graus 72°
b) O hexágono é um polígono de 6 lados e de 6 ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é 720° graus e a soma de seus ângulo externos é 360° . Se o haxágono for regular, cada ângulo interno mede 120° graus e cada ângulo externo mede 60° graus
c) O heptágono é um polígono de 7 lados e de 7 ângulos internos . A soma de seus ângulos internos é 900° graus e a soma de seus ângulos externos é 360° .Se o heptágono for regular, cada ângulo mede 128° graus e cada ângulo externo mede graus.
d) O octógono é um polígono de 8 lados e de 8 ângulos internos. A soma de seus ângulos externos é 360° graus , Se o octógono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus 
e) O hexágono é um polígono de 6 lados e de 6 ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é 720° graus e a soma de seus ângulo externos é 360° . Se o haxágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus
f) O hexágono é um polígono de 6 lados e de 6 ângulos internos. A soma de seus ângulos internos é 720° graus e a soma de seus ângulo externos é 360° . Se o haxágono for regular, cada ângulo interno mede graus e cada ângulo externo mede graus
3) Desenhe as diagonais nos polígonos abaixo e complete as lacunas para cada frase ficar correta .
Para encontrar as diagonais de um polígono usaremos a seguinte fórmula : D= 
a) O octógono regular de lado medindo 1cm possui perímetro igual 8 cm e 20 diagonais. A soma de seus ângulos internos e 1080° e de seus ângulos externos é 360° . Cada ângulo interno mede 135° e cada ângulo externo 45° mede 
P= L+L+L+L+L+L+L+L
P= 1+1+1+1+1+1+1+1
P= 8 cm
 
D= 
D= 
D= 20
S= (n- 2) *180°
S= (8 – 2) *180°
S= 6 *180°
S= 1080°
b) O pentágono regular de 1,5 cm de lado possui perímetro igual a 7,5 cm e 5 diagonais. A soma de seus ângulos internos é 540° e de seus ângulos externos e´360°. Cada ângulo interno mede 108° e cada ângulo externo mede 72°
D= 
D= 
D= 
D= 
D= 5
 P= L+L+L+L+L+
P= 1,5 +1,5+1,5+1,5+1,5
P= 7,5 cm
c) C) O triangulo regular de 3,7 cm de lado possui perímetro igual a 11,1 cm e não tem diagonal. A soma de seus ângulos internos é 180° e de seus angulos externos é 360°. Cada ângulo interno mede 60° e cada ângulo externo mede 120°

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

A Estrela de Cinco Pontas, também denominada Estrela Pentagonal ou Pentagrama, é de origem Pitagórica e pode ser construída com seus vértices sobre um pentágono regular, como indica a figura abaixo. Sendo assim, determine a soma dos ângulos em destaque.

Solução 1

Pela propriedade da soma dos ângulos internos, se S for a soma dos ângulos internos do pentágono, então cada ângulo interno de um pentágono regular mede
m = S / n = [(n−2)180°] / n = [(5−2)180°] / 5 = 108°.
Em cada ponta, cada ângulo ai , i = 1, 2, … , 10, é suplementar com relação a um dos ângulos internos do pentágono regular interno à estrela, logo todos esses ângulos são congruentes e medem, respectivamente, mi = 180° −108° = 72°, para i = 1, 2, … , 10.

Com isso, os ângulos agudos formados pelas pontas medirão 180° −2 × 72° = 36°.
Agora, só multiplicamos essa medida pela quantidade de ângulos agudos de 36° formados, que seria 5 × 36° = 180° .

Solução elaborada pelo COM Fermatianos,
com contribuições dos Moderadores do Blog.

Solução 2

Por conveniência, identificaremos os ângulos indicados em verde por [tex]\hat{A}[/tex], [tex]\hat{B}[/tex], [tex]\hat{C}[/tex], [tex]\hat{D}[/tex] e [tex]\hat{E}\,.[/tex]
Observe, na figura abaixo, que os ângulos [tex]B\hat{K}L[/tex] e [tex]K\hat{L}B[/tex] são externos aos triângulos [tex]\triangle EKC[/tex] e [tex]\triangle ALD[/tex], respectivamente. Sendo assim, temos que [tex]B\hat{K}L=\hat{E}+\hat{C}[/tex] e [tex]K\hat{L}B=\hat{D}+\hat{A}[/tex], pelo Teorema do Ângulo Externo (*).
Logo,
[tex]\quad \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}+\hat{E}=(\hat{E}+\hat{C})+(\hat{A}+\hat{D})+\hat{B}=B\hat{K}L+K\hat{L}B+\hat{B}=180^{\circ}[/tex],
já que [tex]B\hat{K}L\,[/tex] , [tex]\,K\hat{L}B\,[/tex] e [tex]\,\hat{B}\,[/tex] são ângulos internos do triângulo [tex]\triangle KLB[/tex].

(*) Você pode encontrar o teorema do ângulo externo AQUI.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Solução 3

Duas observações iniciais:

Se [tex]a_i[/tex] for a medida, em graus, de cada ângulo interno de um pentágono regular e se [tex]S_i[/tex] for a soma dos ângulos internos do pentágono, então [tex]a_i=108^{\circ}[/tex], uma vez que [tex]a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}[/tex].
Os triângulos [tex]ABE\, ,\, BCA \, ,\, CDB \, , \, DEC \, , \, EAD\, [/tex] têm dois lados congruentes (lados do pentágono regular inicial), então eles são isósceles e seus dois ângulos de base respectivos medem [tex]\dfrac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}[/tex].

Para cada ponta fixada da estrela, seja ae a medida em graus de cada um dos chamados ângulos externos do pentágono interno à estrela (todos têm a mesma medida). Observe que trata-se de um ângulo externo a um triângulo isósceles com ângulos da base medindo 36°, assim, pelo Teorema do Ângulo Externo (*), [tex]a_e = 36^{\circ} + 36^{\circ}[/tex], ou seja, [tex]a_e = 72^{\circ}[/tex].

Como [tex]a_e=72^{\circ}[/tex], então cada ângulo formado pelas pontas da estrela medirá [tex] 180^{\circ}-2 \times 72^{\circ} = 36^{\circ}[/tex].
Assim, a soma a ser determinada é dada por [tex]5 \times 36^{\circ}= 180^{\circ} [/tex]; ou seja, a soma das medidas dos ângulos em destaque verde será igual a [tex]180^{\circ}[/tex].

(*) Você pode encontrar o teorema do ângulo externo AQUI.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Solução 4

Unindo as pontas do Pentagrama, obtemos um pentágono regular onde cada ângulo interno [tex](a_i)[/tex] mede [tex]108^o[/tex].
[tex]\qquad a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}[/tex]
sendo [tex]S_i[/tex] a soma dos ângulos internos do pentágono.
O mesmo acontece com o pentágono regular no interior do pentagrama.
O Pentagrama é formado pelo pentágono regular e cinco triângulos isósceles cujas bases são os lados do pentágono interno. Desse modo, os ângulos relativos à base desses triângulos correspondem ao ângulo externo do pentágono interno, ou seja, os ângulos das bases desses triângulos medem [tex]72^o[/tex].
Indicando a medida de cada um dos ângulos em verde por [tex]x[/tex] temos que [tex]72^{\circ}+ 72^{\circ} + x = 180^{\circ}[/tex] e, assim, [tex]x=36^{\circ}[/tex].
Portanto, a soma dos ângulos em verde é [tex]5 \times 36^{\circ} = 180^{\circ}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Solução 5

Nesta solução, denotaremos os ângulos indicados em verde por [tex]\hat{A}[/tex], [tex]\hat{B}[/tex], [tex]\hat{C}[/tex], [tex]\hat{D}[/tex] e [tex]\hat{E}[/tex] e suas respectivas medidas, em graus, por [tex]a , b, c, d, e [/tex].
Observamos, inicialmente, que se [tex]a_i[/tex] for a medida, em graus, de cada ângulo interno de um pentágono regular e se [tex]S_i[/tex] for a soma dos ângulos internos do pentágono, então [tex]a_i=108^{\circ}[/tex], uma vez que
[tex]\quad a_i = \dfrac{S_i}{n}=\dfrac{(5-2)180^{\circ}}{5} =\dfrac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}[/tex].
Por outro lado, os triângulos [tex]ABE\, ,\, BCA \, ,\, CDB \, , \, DEC \, , \, EAD [/tex] têm dois lados congruentes (lados do pentágono regular inicial), então eles são isósceles e seus dois ângulos de base respectivos medem [tex]\dfrac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}[/tex].

Assim, os ângulos [tex]\hat{A}[/tex], [tex]\hat{B}[/tex], [tex]\hat{C}[/tex], [tex]\hat{D}[/tex] e [tex]\hat{E}[/tex] têm a mesma medida e
[tex] a = b = c = d = e =108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}[/tex].
Portanto, a soma das medidas dos ângulos agudos em destaque será igual a
[tex] a + b + c + d + e =5 \times 36^{\circ}=180^{\circ}.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Participaram da discussão os Clubes: Fermatianos; 0S 4LF4 .

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