Qual é a medida do comprimento em metros do lado do lote colorido de cinza?

As figuras geométricas que possuem apenas três ou quatro lados contam com fórmulas para determinar sua área de maneira prática. Entretanto, para a maioria das figuras geométricas não existe fórmula. Para essas é preciso realizar uma decomposição, isto é, cortar a figura a fim de obter outras que possuam fórmulas de área bem definidas. Depois disso, ao calcular a área de cada figura e somar seus resultados, obtém-se, então, a área da figura inicial.

Para calcular a área do pentágono a seguir, por exemplo, basta dividi-lo em duas figuras: o quadrilátero EFGI e o triângulo GIH. Em seguida, deve-se calcular as áreas de ambos separadamente e depois somar os resultados.

“Decomposição” de figuras

Se imaginamos que as figuras geométricas são feitas de papel, fica fácil perceber que, na separação em duas partes, a soma das áreas das figuras resultantes será igual à área da figura inicial. Observe o seguinte retângulo que possui 4 cm de largura e 2 cm de altura:

 Se esse retângulo fosse cortado ao meio, na vertical, ele seria transformado em dois quadrados com lado de 2 cm, como mostra a figura abaixo:

Note que a área desse retângulo é igual a 8 cm2 e que a área de cada quadrado corresponde a 4 cm2. A soma das áreas desses dois quadrados é exatamente igual à área do retângulo.

Esse conceito pode ser usado para calcular a área quando não existe fórmula específica para algumas figuras ou para facilitar os cálculos da área de todo tipo de figura.

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Exemplo – Qual a área da seguinte figura, sabendo que a parte curva é um semicírculo?

Observe que já existe um corte marcando a divisão em partes nessa figura. Como todos os ângulos desse quadrilátero são retos, todos os seus lados opostos são paralelos e congruentes. Assim, concluímos que o quadrilátero é um quadrado com lado igual a 12 cm. O diâmetro do semicírculo é um dos lados do quadrado, por isso, seu raio é a metade do lado, ou seja, r = 6 cm. Agora, basta calcular a área do quadrado e a área do semicírculo e somar as duas para encontrar a área da figura acima.

Área do quadrado:

A1 = l2

A1 = 122

A1 = 144 cm2

Área do semicírculo: um semicírculo é um círculo dividido ao meio. Então, basta dividir a área do círculo (de raio igual a 6 cm) por dois para obter a área desse semicírculo.

Área do círculo com raio igual a 6 cm:

A = π·r2

A = 3,14·62

A = 3,14·36

Área do semicírculo com raio igual a 6 cm:

A2 = 113,04
        2

A2 = 56,52 cm2

A área da figura é a soma A1 + A2:

144 + 56,52 = 200,52 cm2

A área do retângulo é uma grandeza que mede a superfície desse paralelogramo. O retângulo é um caso particular de quadrilátero, fazendo parte do grupo daqueles que possuem todos os ângulos internos retos. Para calcular a área do retângulo, basta calcular o produto entre a sua base e a sua altura, ou seja, a área é dada pela fórmula \(A=b\cdot h\).

Além da área, outra grandeza importante é o perímetro. Para calcular o perímetro de um retângulo, deve-se somar os seus quatro lados. Logo, o perímetro pode ser encontrado pela fórmula \(P=2\left(b+h\right)\).  

Leia também: Como calcular a área da esfera?

Resumo sobre área do retângulo

• O retângulo é um polígono que possui quatro lados e todos os ângulos internos retos.

• Para calcular a área de um retângulo, calculamos o produto entre a sua base (b) e a sua altura (h):

\(A=b\cdot h\)

• O perímetro do retângulo é igual à soma dos seus 4 lados e pode ser calculado pela fórmula:

\(P=2\left(b+h\right)\)

• A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo necessário apenas aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar seu valor:

\(d=h^2+b^2\)

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O que é um retângulo?

Para aprender a calcular a área de um retângulo, é importante relembrar o que é um retângulo. Conhecemos como retângulo um caso particular de quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados. Desse modo, um quadrilátero é conhecido como retângulo quando ele possui todos os ângulos internos retos. Um ângulo reto é um ângulo de 90°.

Qual a fórmula da área do retângulo?

A área é uma grandeza importante para o estudo dos polígonos — trata-se da medida da superfície de uma figura plana. Para calcular a área de um retângulo, é necessário multiplicar o valor da base pelo valor da altura. Assim, é preciso conhecer os comprimentos da base e da altura. A fórmula para calcular a área de um retângulo de base b e altura h é:

\(A=b\cdot h\)

Passo a passo de como calcular a área de um retângulo

Conhecendo os comprimentos da base e da altura de um retângulo, basta realizar sua multiplicação para encontrar o valor da área.

• Exemplo 1:

Calcule a área do seguinte retângulo:

Resolução:

Analisando o retângulo, temos que:

b = 12 cm

h = 5 cm

Calculando o produto da base pela altura:

\(A=b\cdot h\)

\(A=12\cdot5\)

\(A=60\ \)

A área do retângulo é, portanto, igual a 60 cm².

• Exemplo 2:

Um retângulo possui dimensões iguais a 18 cm de base e 24 cm de altura. Qual o valor da sua área?

Resolução:

Sabemos que a base é de 18 cm (logo, b = 18) e que a altura é de 24 cm (então, h = 24). Substituindo na fórmula:

\(A=b\cdot h\)

\(A=18\cdot24\)

\(A=432\ \)

A área do retângulo é, portanto, de 432 cm².

Veja também: Como calcular a área do cone?

Perímetro do retângulo

O perímetro também é uma grandeza importante no estudo dos polígonos. Chamamos de perímetro a soma de todos os lados do polígono. Como o retângulo possui lados opostos congruentes, ou seja, com a mesma medida, o perímetro de um retângulo pode ser calculado pela fórmula:

\(P=2\left(b+h\right)\)

• Exemplo 1:

Calcule o perímetro de um retângulo que possui base igual a 11 cm e altura igual a 7 cm.

Resolução:

\(P=2\left(b+h\right)\)

\(P=2\left(11+7\right)\)

\(P=2\cdot18\ \)

\(P=36\ cm\)

Assim, o perímetro desse retângulo é de 36 cm.

Exemplo 2:

Calcule o perímetro do seguinte retângulo:

Resolução:

Nesse retângulo, o comprimento da base é de 4 cm e da altura é de 10 cm.

Calculando o perímetro:

\(P=2\left(b+h\right)\)

\(P=2(4+10)\)

\(P=2\cdot14\ \)

\(P=28\ cm\)

Saiba mais: Como calcular a área e o perímetro das figuras planas?

Diagonal do retângulo

Conhecemos como diagonal de um retângulo o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos do quadrilátero. Na figura abaixo, a diagonal é representada por d.

Quando traçamos a diagonal de um retângulo, dividimos um retângulo em dois triângulos retângulos. Para encontrar o comprimento da diagonal do polígono, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo formado.

\(d=h^2+b^2\)

• Exemplo 1:

Calcule a diagonal de um retângulo que possui base igual a 35 cm e altura medindo 12 cm.

Resolução:

Dadas b = 35 e h = 12, substituindo na fórmula da diagonal, temos que:

\(d^2=h^2+b^2\)

\(d^2={12}^2+{35}^2\)

\(d^2=144+1225\)

\(d^2=1369\)

\(d=\sqrt{1369}\)

\(d\ =\ 37\)

• Exemplo 2:

Calcule a diagonal do retângulo a seguir:

Resolução:

Analisando os dados, temos que:

b = 15 cm

h = 8 cm

Calculando o comprimento da diagonal:

\(d^2=8^2+{15}^2\)

\(d^2=64+225\)

\(d^2=289\)

\(d=\sqrt{289}\)

\(d=17\ cm\)

A diagonal mede 17 cm.

Exercícios resolvidos sobre área do retângulo

Questão 1

O futebol é o esporte mais tradicional no Brasil, sendo que a seleção brasileira é a seleção que coleciona mais títulos até o momento. O campo de futebol possui formato retangular, e suas dimensões devem ser de 90 m x 120 m. Em um determinado campo, a grama será toda tratada. Para saber a quantidade de produto necessário para tratá-la, é necessário calcular a área do campo. A cada 150 m² é usado 1 frasco de produto. A quantidade de frascos necessários para tratar todo o campo é de:

A) 60 unidades.

B) 65 unidades.

C) 72 unidades.

D) 84 unidades.

E) 93 unidades.

Resolução:

Alternativa C

De início, calcularemos a área do campo:

\(A=90\cdot120\)

\(A=10800\ m²\)

Dividindo a área por 150:

\(10800∶150=72\ \)

Logo, são necessárias 72 unidades de frascos.

Questão 2

A área de um terreno é de \(9030\ m^2\). Esse terreno possui 105 m de comprimento, portanto sua largura é igual a:

A) 86 m²

B) 84 m²

C) 80 m²

D) 78 m²

E) 75 m²

Resolução:

Alternativa A

Nesse caso, a largura é o mesmo que a altura, e temos que:

A = 9030

b = 105

Substituindo na fórmula:

\(A=b\cdot h\)

\(9030=105\cdot h\)

\(h=\frac{9030}{105}\)

\(h=86m^2\)

Qual é a medida do comprimento em metros do lado do lote colorido de cinza que está voltado para a Rua do Campo?

Qual será a medida em metros do comprimento desse muro que Marcelo irá contruir?